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Secundaria · Preparatoria

Resolver cuadráticas por factorización

Relaciona una identidad algebraica con un conjunto completo de soluciones.

Antes de empezar: Factor común, trinomios y ecuaciones lineales.

Al terminar: Relaciona una identidad algebraica con un conjunto completo de soluciones.

Recupera las bases: Elegir métodos de factorización · Trinomios

Reconocer el grado después de simplificar

ax2+bx+c=0,a≠0

Una ecuación cuadrática tiene grado dos después de reunir términos. El coeficiente principal a debe ser distinto de cero. Por ejemplo x²+3x=x²+6 se reduce a 3x=6 y es lineal. Llevar todo a un miembro permite usar el producto nulo y distinguir una ecuación de una expresión aislada.

El producto nulo requiere un cero al otro lado

Si (x−2)(x+3)=0, entonces x−2=0 o x+3=0. Pero de (x−2)(x+3)=4 no puedes igualar los factores a cero. Primero desarrolla o reorganiza hasta obtener una cuadrática igualada a cero. El principio se aplica a un producto, no a cada sumando.

Primero factor común; después otras estructuras

En 2x²−10x=0, extrae 2x: 2x(x−5)=0. Las raíces son 0 y 5. Dividir directamente entre x excluye x=0 y pierde una solución. En x²−16=0 usa conjugados; en x²−5x+6=0 busca factores cuya suma sea −5 y producto 6.

Raíces repetidas y raíces que no son enteras

En (x−3)²=0, ambos factores se anulan para x=3. Se habla de raíz doble, pero el conjunto solución es {3}, con un único valor distinto. En (2x−1)(x+4)=0 aparece la raíz fraccionaria 1/2 junto a −4. No busques únicamente enteros.

Si no se factoriza fácilmente

No encontrar factores enteros no significa que no haya soluciones reales. x²−2=0 tiene raíces ±√2. Completar el cuadrado y la fórmula general permiten avanzar sin adivinar factores. La comprobación final se hace en la ecuación original, antes de cualquier operación que pudiera alterar su dominio.

Ejemplos resueltos

Conservar la raíz cero

Resuelve 3x²−12x=0.

  1. 3x(x−4)=0.
  2. 3 no se anula; x=0 o x=4.
  3. Sustituir da 0 en ambos casos. Dividir entre x habría perdido el primero.

Un coeficiente principal distinto de uno

Resuelve 2x²−5x−3=0.

  1. Factoriza (2x+1)(x−3)=0.
  2. 2x+1=0 o x−3=0: x=−1/2 o x=3.
  3. Comprueba 2·(1/4)+5/2−3=0 y 18−15−3=0.

Error frecuente: Cancelar x cuando puede ser cero o aplicar el producto nulo a una suma.

Predice · Explora · Justifica

Dos factores, sus raíces

Explora f(x)=a(x−r)(x−s). Si a=0, desaparece el término cuadrático y la función es cero en todo el dominio.

f(x)=1(x−(-2))(x−(3))-8-6-4-202468-10-6-2261014Horizontal: x · Vertical: f(x)

Explora f(x)=a(x−r)(x−s). Si a=0, desaparece el término cuadrático y la función es cero en todo el dominio.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Extrae el factor común; no dividas entre x. Ecuación: x² − 2x = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 0 o x = 2

  1. La expresión equivale a 1(x−(0))(x−(2)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 0 o x = 2.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Extrae el factor común; no dividas entre x. Ecuación: x² − 3x = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 0 o x = 3

  1. La expresión equivale a 1(x−(0))(x−(3)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 0 o x = 3.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Extrae el factor común; no dividas entre x. Ecuación: x² − 4x = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 0 o x = 4

  1. La expresión equivale a 1(x−(0))(x−(4)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 0 o x = 4.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Ecuación: x² − 4 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -2 o x = 2

  1. La expresión equivale a 1(x−(-2))(x−(2)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -2 o x = 2.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Ecuación: x² − 9 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -3 o x = 3

  1. La expresión equivale a 1(x−(-3))(x−(3)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -3 o x = 3.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Ecuación: x² − 16 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -4 o x = 4

  1. La expresión equivale a 1(x−(-4))(x−(4)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -4 o x = 4.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Ecuación: x² − 5x + 6 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 2 o x = 3

  1. La expresión equivale a 1(x−(2))(x−(3)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 2 o x = 3.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Ecuación: x² − 7x + 12 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 3 o x = 4

  1. La expresión equivale a 1(x−(3))(x−(4)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 3 o x = 4.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Ecuación: x² − 9x + 20 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 4 o x = 5

  1. La expresión equivale a 1(x−(4))(x−(5)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 4 o x = 5.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Ecuación: 2x² − 3x − 2 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 2

  1. La expresión equivale a 2(x−(-1/2))(x−(2)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -1/2 o x = 2.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Ecuación: 2x² − 5x − 3 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 3

  1. La expresión equivale a 2(x−(-1/2))(x−(3)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -1/2 o x = 3.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Ecuación: 2x² − 7x − 4 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 4

  1. La expresión equivale a 2(x−(-1/2))(x−(4)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = -1/2 o x = 4.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Ecuación: 2x² − 8x + 8 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 2

  1. La expresión equivale a 2(x−(2))(x−(2)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 2.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Ecuación: 3x² − 18x + 27 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 3

  1. La expresión equivale a 3(x−(3))(x−(3)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 3.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Ecuación: 4x² − 32x + 64 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 4

  1. La expresión equivale a 4(x−(4))(x−(4)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 4.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué una raíz doble no aporta dos elementos distintos al conjunto solución?

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