Antes de empezar: Distributiva, signos y factorización por agrupación.
Al terminar: Justifica la búsqueda de factores y el método de descomponer el término medio.
Suma y producto salen de la distributiva
En (x+p)(x+q), el coeficiente de x es p+q y el término constante es pq. Para factorizar x²+bx+c se buscan dos números que cumplan ambas condiciones. No basta con acertar el producto.
Leer los signos antes de probar
Si c es positivo, p y q tienen el mismo signo, indicado por b. Si c es negativo, tienen signos opuestos; el de mayor valor absoluto tiene el signo de b. Enumera parejas de divisores de |c| sin repetirlas y revisa sus sumas.
Cuando el coeficiente principal no es uno
Para ax²+bx+c, con a≠0, busca m y n con m+n=b y mn=ac. Sustituye bx por mx+nx y agrupa para obtener un binomio común. La condición mn=ac permite que las proporciones coincidan. Si a y m no son iguales, no uses directamente (x+m)(x+n).
Un criterio para saber cuándo detenerse
Si un polinomio con coeficientes enteros es primitivo (el MCD de sus coeficientes es 1), una factorización sobre los racionales se puede obtener con factores enteros. Si no hay pareja entera para ac y b, este procedimiento no dará factores racionales. Más adelante el discriminante b²−4ac distinguirá factores reales y raíces no reales; no se supone desarrollado aún ese método.
Qué muestra el modelo
Cuatro regiones reconstruyen (ax+p)(x+q): ax², aqx, px y pq. Los controles usan a,p,q,x positivos para que las áreas sean geométricas. La prueba por distributiva también vale con coeficientes negativos, aunque entonces las regiones no se interpretan como áreas ordinarias.
Ejemplos resueltos
Coeficiente principal distinto de uno
Factoriza 6x²+11x+3.
- ac=18; 9 y 2 suman 11.
- 6x²+9x+2x+3=3x(2x+3)+(2x+3).
- El resultado es (3x+1)(2x+3).
Constante negativa
Factoriza 2x²−5x−3.
- ac=−6; −6 y 1 suman −5.
- 2x²−6x+x−3=2x(x−3)+(x−3).
- Se obtiene (2x+1)(x−3); al multiplicar reaparecen −6x+x=−5x.
Error frecuente: Usar dos números cuyo producto es c cuando a≠1, sin revisar los productos cruzados.
Cuatro regiones, tres coeficientes
(ax+p)(x+q)=ax²+(aq+p)x+pq. Las dos regiones mixtas suman el coeficiente lineal.
(ax+p)(x+q)=ax²+(aq+p)x+pq. Las dos regiones mixtas suman el coeficiente lineal.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Factoriza x²+4x+4.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+2)(x+2)
- Busca dos números con suma 4 y producto 4: 2 y 2.
- Multiplica los binomios: x²+(2+2)x+4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Factoriza x²+5x+6.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+3)(x+2)
- Busca dos números con suma 5 y producto 6: 3 y 2.
- Multiplica los binomios: x²+(3+2)x+6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Factoriza x²+6x+8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+4)(x+2)
- Busca dos números con suma 6 y producto 8: 4 y 2.
- Multiplica los binomios: x²+(4+2)x+8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Factoriza x²−5x+6.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−2)(x−3)
- El producto es positivo y la suma negativa: ambos números son negativos.
- −2 y −3 cumplen ambas condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Factoriza x²−6x+9.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−3)(x−3)
- El producto es positivo y la suma negativa: ambos números son negativos.
- −3 y −3 cumplen ambas condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Factoriza x²−7x+12.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−4)(x−3)
- El producto es positivo y la suma negativa: ambos números son negativos.
- −4 y −3 cumplen ambas condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Factoriza 2x²+5x+2.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x+1)(x+2)
- a·c=4; busca suma 5: 4 y 1.
- 2x²+4x+x+2=2x(x+2)+1(x+2).
- Extrae el binomio común.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Factoriza 2x²+7x+3.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x+1)(x+3)
- a·c=6; busca suma 7: 6 y 1.
- 2x²+6x+x+3=2x(x+3)+1(x+3).
- Extrae el binomio común.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Factoriza 2x²+9x+4.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x+1)(x+4)
- a·c=8; busca suma 9: 8 y 1.
- 2x²+8x+x+4=2x(x+4)+1(x+4).
- Extrae el binomio común.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Factoriza 3x²+4x−4.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (3x−2)(x+2)
- Los productos cruzados son 6x y −2x.
- Su suma es 4x y el producto constante es −4.
- Comprueba los tres coeficientes al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Factoriza 3x²+7x−6.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (3x−2)(x+3)
- Los productos cruzados son 9x y −2x.
- Su suma es 7x y el producto constante es −6.
- Comprueba los tres coeficientes al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Factoriza 3x²+10x−8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (3x−2)(x+4)
- Los productos cruzados son 12x y −2x.
- Su suma es 10x y el producto constante es −8.
- Comprueba los tres coeficientes al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Para x²+4x+c, encuentra c para que sea un cuadrado perfecto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El término medio de (x+p)² es 2px.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La mitad del coeficiente de x es 2.
- Eleva al cuadrado: c=4.
- Queda (x+2)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Para x²+6x+c, encuentra c para que sea un cuadrado perfecto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El término medio de (x+p)² es 2px.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- La mitad del coeficiente de x es 3.
- Eleva al cuadrado: c=9.
- Queda (x+3)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Para x²+8x+c, encuentra c para que sea un cuadrado perfecto.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El término medio de (x+p)² es 2px.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- La mitad del coeficiente de x es 4.
- Eleva al cuadrado: c=16.
- Queda (x+4)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Cómo detectarías un factor propuesto incorrecto comparando únicamente el coeficiente de x?
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