Factorización: elegir y combinar métodos

Antes de empezar: Factor común, potencias y productos notables.

Al terminar: Pasa de reconocer una forma a justificar una factorización completa.

Recupera las bases: Repasar factor común · Repasar conjugados

Identidad, producto y dominio

Factorizar es expresar una suma como un producto que representa la misma expresión para todos los valores permitidos. No es resolver una ecuación. En estos talleres los coeficientes son enteros y se factoriza sobre los racionales, salvo que se indique otro conjunto. «Completamente» significa que no quedan factores polinómicos no constantes que puedan descomponerse en ese conjunto.

6 x^{3} - 54 x = 6 x (x - 3) (x + 3)

Una estrategia que se puede repetir

Ordena por potencias y reúne términos semejantes. Extrae el máximo factor común: MCD de coeficientes y menor exponente compartido. Examina lo que queda: dos términos pueden formar diferencia de cuadrados o cubos; tres pueden ser cuadrado perfecto o trinomio; cuatro pueden admitir agrupación. Repite el análisis en cada factor y comprueba expandiendo. El número de términos orienta, pero no garantiza un método.

Diferencia de cuadrados: la razón de los signos

Al multiplicar (u−v)(u+v), los productos cruzados se cancelan $: u^{2} +$ uv−uv $- v^{2}$ . En cambio ${(u - v)}^{2}$ tiene un término −2uv. La identidad es algebraica para todos los reales. El dibujo de áreas que la ilustra requiere longitudes no negativas; el dibujo no restringe la validez de la identidad.

u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)

El conjunto de coeficientes importa

$x^{2} - 2$ no se descompone en factores lineales con coeficientes racionales, pero sobre los reales es $(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) . x^{2} + 1$ no tiene factores lineales reales. No fuerces factores enteros cuando no existen.

De un producto a una ecuación

Si un producto de números reales es cero, al menos un factor es cero. Esto no permite igualar a cero cada término de una suma. Una factorización conserva también los valores que anulan sus factores; dividir entre uno de ellos puede eliminar soluciones.

Ejemplos resueltos

Dos métodos encadenados

Factoriza $12 x^{3} - 108 x$ .

Extrae $12 x : 12 x (x^{2} - 9)$ .
Descompón la diferencia de cuadrados: 12x(x−3)(x+3).
Al expandir $, 12 x (x^{2} - 9) = 12 x^{3} - 108 x$ .

Una cancelación con condición

Simplifica $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ .

El dominio original exige $x \neq 3$ .
Factoriza y cancela $: (x - 3) \frac{x + 3}{x - 3} = x + 3,$ para $x \neq 3$ .
La fórmula simplificada vale 6 en $x = 3,$ pero la expresión original no está definida allí.

Error frecuente: Confundir $x^{2} - 9$ con ${(x - 3)}^{2}$ o cancelar sumandos en lugar de factores.

Predice · Explora · Explica

Del cuadrado al rectángulo

$u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ . El cuadrado grande pierde un cuadrado de lado v; las dos piezas restantes forman un rectángulo.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Factoriza completamente $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero el máximo factor común.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $6 x^{2} (2 x + 3)$

El MCD es 6; la menor potencia es $x^{2}$ .
Divide ambos términos: 2x y 3.
Distribuir recupera $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Factoriza completamente $18 x^{3} + 27 x^{2}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero el máximo factor común.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $9 x^{2} (2 x + 3)$

El MCD es 9; la menor potencia es $x^{2}$ .
Divide ambos términos: 2x y 3.
Distribuir recupera $18 x^{3} + 27 x^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Factoriza completamente $24 x^{3} + 36 x^{2}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Busca primero el máximo factor común.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $12 x^{2} (2 x + 3)$

El MCD es 12; la menor potencia es $x^{2}$ .
Divide ambos términos: 2x y 3.
Distribuir recupera $24 x^{3} + 36 x^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Factoriza completamente $2 x^{2} - 18$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x−3)(x+3)

Extrae 2: queda $x^{2} - 9$ .
Usa $x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$ .
Multiplica para comprobar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Factoriza completamente $3 x^{2} - 27$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 3(x−3)(x+3)

Extrae 3: queda $x^{2} - 9$ .
Usa $x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$ .
Multiplica para comprobar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Factoriza completamente $4 x^{2} - 36$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 4(x−3)(x+3)

Extrae 4: queda $x^{2} - 9$ .
Usa $x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$ .
Multiplica para comprobar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Factoriza completamente $2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x {(x - 2)}^{2}$

Extrae $2 x : x^{2} - 4 x + 4$ .
Es cuadrado perfecto: el término medio es $- 2 \cdot x \cdot 2$ .
El producto es $2 x {(x - 2)}^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Factoriza completamente $3 x^{3} - 18 x^{2} + 27 x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $3 x {(x - 3)}^{2}$

Extrae $3 x : x^{2} - 6 x + 9$ .
Es cuadrado perfecto: el término medio es $- 2 \cdot x \cdot 3$ .
El producto es $3 x {(x - 3)}^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Factoriza completamente $4 x^{3} - 32 x^{2} + 64 x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $4 x {(x - 4)}^{2}$

Extrae $4 x : x^{2} - 8 x + 16$ .
Es cuadrado perfecto: el término medio es $- 2 \cdot x \cdot 4$ .
El producto es $4 x {(x - 4)}^{2}$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Una placa rectangular tiene área $2 x^{2} - 8,$ en cm $², y$ altura x−2 cm, con $x > 2$ . Halla la base.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x+2) cm

Factoriza el área: 2(x−2)(x+2).
Divide entre x−2; es positivo por $x > 2$ .
La base es 2(x+2) cm.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Una placa rectangular tiene área $3 x^{2} - 12,$ en cm $², y$ altura x−2 cm, con $x > 2$ . Halla la base.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 3(x+2) cm

Factoriza el área: 3(x−2)(x+2).
Divide entre x−2; es positivo por $x > 2$ .
La base es 3(x+2) cm.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Una placa rectangular tiene área $4 x^{2} - 16,$ en cm $², y$ altura x−2 cm, con $x > 2$ . Halla la base.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 4(x+2) cm

Factoriza el área: 4(x−2)(x+2).
Divide entre x−2; es positivo por $x > 2$ .
La base es 4(x+2) cm.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve en los reales $2 x^{3} - 8 x = 0 \sin$ perder soluciones.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Usa el producto nulo solo después de igualar a cero.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x = - 2, 0, 2$

$2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2) = 0$ .
Cada factor variable puede ser cero.
No dividas entre x: perderías $x = 0$ .
Sustituye las tres soluciones en el polinomio original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve en los reales $3 x^{3} - 27 x = 0 \sin$ perder soluciones.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Usa el producto nulo solo después de igualar a cero.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x = - 3, 0, 3$

$3 x (x^{2} - 9) = 3 x (x - 3) (x + 3) = 0$ .
Cada factor variable puede ser cero.
No dividas entre x: perderías $x = 0$ .
Sustituye las tres soluciones en el polinomio original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve en los reales $4 x^{3} - 64 x = 0 \sin$ perder soluciones.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Usa el producto nulo solo después de igualar a cero.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x = - 4, 0, 4$

$4 x (x^{2} - 16) = 4 x (x - 4) (x + 4) = 0$ .
Cada factor variable puede ser cero.
No dividas entre x: perderías $x = 0$ .
Sustituye las tres soluciones en el polinomio original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué comprobar tres valores de x no demuestra una identidad, mientras que expandir sí?

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