Antes de empezar: Tablas de signos, factorización y restricciones de dominio.
Al terminar: Resuelve cocientes sin multiplicar por un denominador de signo desconocido.
Primero el dominio
En P(x)/Q(x), todos los ceros de Q están excluidos, aunque P también se anule allí. La expresión no está definida en esos puntos; no son soluciones ni siquiera cuando la comparación incluye igualdad. Escribe las exclusiones antes de simplificar.
Un cociente se estudia por factores
Para (x−2)/(x+1)>0, separa −1 y 2. El cociente es positivo cuando numerador y denominador tienen el mismo signo: x<−1 o x>2. No multipliques directamente por x+1 sin conocer su signo: invertirías el sentido solo en parte del dominio.
Un factor cancelado deja un hueco
(x−1)(x−3)/(x−3)≥0 se reduce a x−1≥0 únicamente donde x≠3. La solución es [1,3) ∪ (3,+∞). La cancelación simplifica el cálculo pero no redefine el dominio original.
Ceros y polos de multiplicidad par
En (x−2)/(x−1)²≥0, el denominador es positivo salvo en 1, donde está excluido. El signo lo determina x−2. La solución es [2,+∞); el punto prohibido 1 ya queda fuera por el signo. En (x−2)²/(x−1)>0, el numerador es positivo salvo en 2; este cero queda excluido por la desigualdad estricta.
Una tabla que no olvida ninguna frontera
Ordena juntos los ceros del numerador y del denominador, incluso los factores cancelados. Determina el signo en cada intervalo abierto. Después revisa cada punto: un cero del denominador nunca entra; un cero del numerador entra solo con ≤ o ≥ y si pertenece al dominio. Los infinitos se escriben siempre con paréntesis.
Ejemplos resueltos
Un cero permitido y un polo excluido
Resuelve (x−2)/(x+1)≤0.
- Puntos críticos: −1, excluido por el denominador, y 2, cero del numerador.
- El cociente es negativo entre −1 y 2.
- Se incluye 2 y no −1: (−1,2].
Cancelación con un punto prohibido
Resuelve (x−1)(x−3)/(x−3)≥0.
- Dominio: x≠3.
- Para esos valores equivale a x−1≥0, es decir x≥1.
- Conserva el hueco: [1,3) ∪ (3,+∞).
Error frecuente: Incluir un cero del denominador por usar ≤ o ≥, o borrar una exclusión al cancelar factores.
Ceros permitidos y puntos prohibidos
El denominador original impone x≠p. Un factor cancelado puede conservar un hueco aunque no cambie el signo.
El denominador original impone x≠p. Un factor cancelado puede conservar un hueco aunque no cambie el signo.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Resuelve en ℝ: (x − 2)/(x + 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -1) ∪ (2, +∞)
- Identifica los puntos críticos: -1, 2.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 4 (positivo).
- En (-1, 2), prueba x=1/2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1/4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, -1) ∪ (2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Resuelve en ℝ: (x − 3)/(x + 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -1) ∪ (3, +∞)
- Identifica los puntos críticos: -1, 3.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 5 (positivo).
- En (-1, 3), prueba x=1: la expresión vale -1 (negativo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1/5 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, -1) ∪ (3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Resuelve en ℝ: (x − 4)/(x + 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -1) ∪ (4, +∞)
- Identifica los puntos críticos: -1, 4.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 6 (positivo).
- En (-1, 4), prueba x=3/2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1/6 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, -1) ∪ (4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Resuelve en ℝ: (x − 2)/(x + 1) ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-1, 2]
- Identifica los puntos críticos: -1, 2.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 4 (positivo).
- En (-1, 2), prueba x=1/2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1/4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (-1, 2].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Resuelve en ℝ: (x − 3)/(x + 1) ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-1, 3]
- Identifica los puntos críticos: -1, 3.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 5 (positivo).
- En (-1, 3), prueba x=1: la expresión vale -1 (negativo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1/5 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (-1, 3].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Resuelve en ℝ: (x − 4)/(x + 1) ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-1, 4]
- Identifica los puntos críticos: -1, 4.
- Excluye los ceros del denominador: -1.
- En (−∞, -1), prueba x=-2: la expresión vale 6 (positivo).
- En (-1, 4), prueba x=3/2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1/6 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (-1, 4].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Resuelve en ℝ: (x² − 4x + 4)/(x − 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (1, 2) ∪ (2, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 2.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -4 (negativo).
- En (1, 2), prueba x=3/2: la expresión vale 1/2 (positivo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1/2 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (1, 2) ∪ (2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Resuelve en ℝ: (x² − 6x + 9)/(x − 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (1, 3) ∪ (3, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 3.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -9 (negativo).
- En (1, 3), prueba x=2: la expresión vale 1 (positivo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1/3 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (1, 3) ∪ (3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Resuelve en ℝ: (x² − 8x + 16)/(x − 1) > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (1, 4) ∪ (4, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 4.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -16 (negativo).
- En (1, 4), prueba x=5/2: la expresión vale 3/2 (positivo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1/4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (1, 4) ∪ (4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Aunque se cancele un factor, conserva el dominio original. Resuelve en ℝ: (x² − 3x + 2)/(x − 2) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [1, 2) ∪ (2, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 2.
- Excluye los ceros del denominador: 2.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -1 (negativo).
- En (1, 2), prueba x=3/2: la expresión vale 1/2 (positivo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 2 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [1, 2) ∪ (2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Aunque se cancele un factor, conserva el dominio original. Resuelve en ℝ: (x² − 4x + 3)/(x − 3) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [1, 3) ∪ (3, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 3.
- Excluye los ceros del denominador: 3.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -1 (negativo).
- En (1, 3), prueba x=2: la expresión vale 1 (positivo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 3 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [1, 3) ∪ (3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Aunque se cancele un factor, conserva el dominio original. Resuelve en ℝ: (x² − 5x + 4)/(x − 4) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [1, 4) ∪ (4, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 4.
- Excluye los ceros del denominador: 4.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -1 (negativo).
- En (1, 4), prueba x=5/2: la expresión vale 3/2 (positivo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [1, 4) ∪ (4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Resuelve en ℝ: (x − 2)/(x² − 2x + 1) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [2, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 2.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -2 (negativo).
- En (1, 2), prueba x=3/2: la expresión vale -2 (negativo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1/4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Resuelve en ℝ: (x − 3)/(x² − 2x + 1) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [3, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 3.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -3 (negativo).
- En (1, 3), prueba x=2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1/9 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Resuelve en ℝ: (x − 4)/(x² − 2x + 1) ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [4, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 1, 4.
- Excluye los ceros del denominador: 1.
- En (−∞, 1), prueba x=0: la expresión vale -4 (negativo).
- En (1, 4), prueba x=5/2: la expresión vale -2/3 (negativo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1/16 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Puede una expresión simplificada tener un valor donde la original no lo tiene? ¿Qué implica para su solución?
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