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Secundaria · Preparatoria

Inecuaciones cuadráticas: construir la tabla de signos

Distingue cruces, raíces dobles y casos sin raíces reales.

Antes de empezar: Factorización, raíces cuadráticas y parábolas.

Al terminar: Distingue cruces, raíces dobles y casos sin raíces reales.

Recupera las bases: Raíces por factorización · Discriminante

Los ceros separan regiones de signo

Para resolver f(x)>0, primero identifica sus ceros y ordénalos. En cada intervalo entre ceros, un polinomio continuo que no se anula mantiene su signo. Factorizar muestra el signo de cada factor; un punto de prueba en cada intervalo permite confirmarlo. El objetivo es seleccionar intervalos, no devolver solamente las raíces.

Dos raíces distintas

(x−r1)(x−r2),r1<r2

Con coeficiente principal positivo, el producto es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Si el coeficiente principal es negativo, se invierten los signos. Esta regla requiere dos raíces reales distintas; no se aplica sin revisar esa condición.

La raíz doble no cambia el signo

(x−2)² es positivo a ambos lados de 2 y cero en 2. Por eso (x−2)²≤0 tiene solución {2}; (x−2)²<0 no tiene ninguna. En un producto, una raíz de multiplicidad par no cambia el signo y una de multiplicidad impar sí lo cambia.

Si no hay raíces reales

Una cuadrática sin raíces reales conserva en toda la recta el signo de su coeficiente principal. x²+1>0 se cumple para todo real; −x²−1≥0 no se cumple para ninguno. También puedes completar el cuadrado para justificar directamente el signo.

Incluir ceros requiere dos condiciones

Una desigualdad no estricta permite igualdad, así que se incluyen los ceros donde la expresión está definida. En un polinomio no hay restricciones de denominador; en una expresión racional sí las habrá. Si > o < es estricta, ningún cero satisface la condición.

Ejemplos resueltos

Interior o exterior

Resuelve x²−5x+6≤0.

  1. Factoriza (x−2)(x−3).
  2. Signos: positivo en (−∞,2), negativo en (2,3), positivo en (3,+∞).
  3. Como se admite igualdad, incluye 2 y 3: [2,3].

Una raíz doble

Resuelve −(x+1)²≥0.

  1. Un cuadrado es no negativo; su opuesto es no positivo.
  2. Solo puede ser ≥0 cuando vale cero.
  3. x=−1; conjunto {−1}.

Error frecuente: Cambiar el signo automáticamente al cruzar una raíz doble o entregar solo las raíces de la ecuación asociada.

Predice · Representa · Comprueba

Raíces, multiplicidad y signos

Analiza a(x−r)(x−s) comparado con cero. Haz coincidir las raíces para estudiar una raíz doble.

1(x−(-2))(x−(3)) > 0Intervalos que cumplen la comparación-8-6-4-202468Signo en cada intervalo abierto(−∞, -2)+(-2, 3)−(3, +∞)+

Analiza a(x−r)(x−s) comparado con cero. Haz coincidir las raíces para estudiar una raíz doble.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve en ℝ: x² − 5x + 6 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 2) ∪ (3, +∞)

  1. Identifica los puntos críticos: 2, 3.
  2. En (−∞, 2), prueba x=1: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (2, 3), prueba x=5/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve en ℝ: x² − 7x + 12 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 3) ∪ (4, +∞)

  1. Identifica los puntos críticos: 3, 4.
  2. En (−∞, 3), prueba x=2: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (3, 4), prueba x=7/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: (−∞, 3) ∪ (4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve en ℝ: x² − 9x + 20 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 4) ∪ (5, +∞)

  1. Identifica los puntos críticos: 4, 5.
  2. En (−∞, 4), prueba x=3: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (4, 5), prueba x=9/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (5, +∞), prueba x=6: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: (−∞, 4) ∪ (5, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve en ℝ: x² − 5x + 6 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [2, 3]

  1. Identifica los puntos críticos: 2, 3.
  2. En (−∞, 2), prueba x=1: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (2, 3), prueba x=5/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [2, 3].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve en ℝ: x² − 7x + 12 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [3, 4]

  1. Identifica los puntos críticos: 3, 4.
  2. En (−∞, 3), prueba x=2: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (3, 4), prueba x=7/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [3, 4].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve en ℝ: x² − 9x + 20 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [4, 5]

  1. Identifica los puntos críticos: 4, 5.
  2. En (−∞, 4), prueba x=3: la expresión vale 2 (positivo).
  3. En (4, 5), prueba x=9/2: la expresión vale -1/4 (negativo).
  4. En (5, +∞), prueba x=6: la expresión vale 2 (positivo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [4, 5].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve en ℝ: −x² + 5x − 6 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [2, 3]

  1. Identifica los puntos críticos: 2, 3.
  2. En (−∞, 2), prueba x=1: la expresión vale -2 (negativo).
  3. En (2, 3), prueba x=5/2: la expresión vale 1/4 (positivo).
  4. En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale -2 (negativo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [2, 3].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve en ℝ: −x² + 7x − 12 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [3, 4]

  1. Identifica los puntos críticos: 3, 4.
  2. En (−∞, 3), prueba x=2: la expresión vale -2 (negativo).
  3. En (3, 4), prueba x=7/2: la expresión vale 1/4 (positivo).
  4. En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale -2 (negativo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [3, 4].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve en ℝ: −x² + 9x − 20 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [4, 5]

  1. Identifica los puntos críticos: 4, 5.
  2. En (−∞, 4), prueba x=3: la expresión vale -2 (negativo).
  3. En (4, 5), prueba x=9/2: la expresión vale 1/4 (positivo).
  4. En (5, +∞), prueba x=6: la expresión vale -2 (negativo).
  5. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  6. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  7. Conjunto solución: [4, 5].

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve en ℝ: x² − 4x + 4 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {2}

  1. Identifica los puntos críticos: 2.
  2. En (−∞, 2), prueba x=1: la expresión vale 1 (positivo).
  3. En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1 (positivo).
  4. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  5. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  6. Conjunto solución: {2}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve en ℝ: x² − 6x + 9 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {3}

  1. Identifica los puntos críticos: 3.
  2. En (−∞, 3), prueba x=2: la expresión vale 1 (positivo).
  3. En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1 (positivo).
  4. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  5. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  6. Conjunto solución: {3}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve en ℝ: x² − 8x + 16 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {4}

  1. Identifica los puntos críticos: 4.
  2. En (−∞, 4), prueba x=3: la expresión vale 1 (positivo).
  3. En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1 (positivo).
  4. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  5. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  6. Conjunto solución: {4}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve en ℝ: x² + 2 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ℝ

  1. Identifica los puntos críticos: ninguno.
  2. En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 2 (positivo).
  3. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  4. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  5. Conjunto solución: ℝ.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve en ℝ: x² + 3 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ℝ

  1. Identifica los puntos críticos: ninguno.
  2. En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 3 (positivo).
  3. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  4. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  5. Conjunto solución: ℝ.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve en ℝ: x² + 4 > 0. Escribe el conjunto solución.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ℝ

  1. Identifica los puntos críticos: ninguno.
  2. En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 4 (positivo).
  3. Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
  4. Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
  5. Conjunto solución: ℝ.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué x²−4>0 no equivale a x>2?

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