EATRYL
Preparatoria

Inecuaciones factorizadas: construir una tabla de signos

Resuelve productos de varios factores y expresa todos los intervalos que cumplen.

Antes de empezar: Factor común, diferencia de cuadrados, intervalos e inecuaciones cuadráticas.

Al terminar: Resuelve productos de varios factores y expresa todos los intervalos que cumplen.

Recupera las bases: Signos de una cuadrática · Factorización y raíces

Una tabla describe intervalos completos

Lleva todos los términos al mismo miembro y compara con cero. Si ya tienes factores lineales, sus raíces dividen la recta en intervalos. Dentro de cada intervalo ningún factor se anula ni cambia de signo: el signo del producto es constante. Esta continuidad justifica usar un punto de prueba por intervalo; no se trata de adivinar con unos cuantos números.

Factorizar antes de ordenar

Saca factor común y reconoce productos notables. Conserva el coeficiente global: si es negativo invierte el signo del producto completo. Una expresión cúbica puede tener tres raíces reales distintas, raíces repetidas o una sola; aquí estudiamos expresiones cuya factorización real lineal conocemos.

x3−9x=x(x−3)(x+3)

Cada factor aporta un signo

El factor x−a es negativo a la izquierda de a y positivo a la derecha. El factor 2x−1 cambia en 12. En un producto, un número par de factores negativos da signo positivo; uno impar da signo negativo. Puedes contar signos en vez de multiplicar números grandes.

Extremos y desigualdad estricta

Con >o< se descartan todos los ceros. Con ≥o≤ se incluyen los ceros que pertenecen al dominio. Escribe la unión de intervalos; el símbolo ∪ significa que basta pertenecer a cualquiera de sus partes. No sustituyas esa unión por una intersección.

Por qué la respuesta está completa

La lista de raíces contiene todos los puntos donde el signo podría cambiar. La tabla cubre cada intervalo entre ellas y se revisan por separado todos los extremos. Ese argumento garantiza que no se perdieron soluciones. Una gráfica es útil para interpretar, pero el zoom no demuestra por sí solo qué ocurre en toda la recta.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Resuelve (x+1)x(x−1)≥0.

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 0, 1.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  4. En (−1, 0), prueba x=−12: el signo es positivo.
  5. En (0, 1), prueba x=12: el signo es negativo.
  6. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−1, 0] ∪ [1, +∞).

Caso resuelto 2

Resuelve (x+2)(x+1)(x−1)(x−2)<0.

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −2, −1, 1, 2.
  3. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es positivo.
  4. En (−2, −1), prueba x=−32: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, 2), prueba x=32: el signo es negativo.
  7. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−2,−1)∪(1,2).

Caso resuelto 3

Resuelve (2x−1)(x+1)(x−1)>0.

  1. El factor 2x−1 tiene raíz 12, no 1. Su coeficiente principal 2 es positivo.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados:−1,12,1.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1,12), prueba x=−14: el signo es positivo.
  6. En (12,1), prueba x=34: el signo es negativo.
  7. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−1,12)∪(1,+∞).

Error frecuente: Suponer que todos los productos son positivos fuera de las raíces sin revisar el signo del coeficiente y el grado.

Predice · Cambia · Justifica

Laboratorio de signos y extremos

Predice el signo antes de mover una raíz. Haz coincidir a y b y observa cómo se suman sus multiplicidades. La recta menta representa la solución, no la gráfica de la función.

(x+2)x(x−2)≥0
−202
Tabla de signos
Intervalo(−∞, −2)(−2, 0)(0, 2)(2, +∞)
Punto de prueba−3−113
Coeficiente++++
N: (x+2)−+++
N: x−−++
N: (x−2)−−−+
Signo total−+−+

S = [−2, 0] ∪ [2, +∞)

N: numerador; D: denominador. Menta relleno: punto incluido. Menta vacío: extremo excluido. Naranja vacío: fuera del dominio. Las flechas continúan hasta infinito.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve (x+2)x(x−2)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−2, 0] ∪ [2, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −2, 0, 2.
  3. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  4. En (−2, 0), prueba x=−1: el signo es positivo.
  5. En (0, 2), prueba x=1: el signo es negativo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−2, 0] ∪ [2, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve (x+3)x(x−3)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−3, 0] ∪ [3, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −3, 0, 3.
  3. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  4. En (−3, 0), prueba x=−32: el signo es positivo.
  5. En (0, 3), prueba x=32: el signo es negativo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−3, 0] ∪ [3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve (x+4)x(x−4)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−4, 0] ∪ [4, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −4, 0, 4.
  3. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  4. En (−4, 0), prueba x=−2: el signo es positivo.
  5. En (0, 4), prueba x=2: el signo es negativo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−4, 0] ∪ [4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve (x+3)(x+1)(x−1)(x−3)<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−3,−1)∪(1,3)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −3, −1, 1, 3.
  3. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es positivo.
  4. En (−3, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, 3), prueba x=2: el signo es negativo.
  7. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−3,−1)∪(1,3).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve (x+4)(x+1)(x−1)(x−4)<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−4,−1)∪(1,4)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −4, −1, 1, 4.
  3. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es positivo.
  4. En (−4, −1), prueba x=−52: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, 4), prueba x=52: el signo es negativo.
  7. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−4,−1)∪(1,4).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve (x+5)(x+1)(x−1)(x−5)<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−5,−1)∪(1,5)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −5, −1, 1, 5.
  3. En (−∞, −5), prueba x=−6: el signo es positivo.
  4. En (−5, −1), prueba x=−3: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, 5), prueba x=3: el signo es negativo.
  7. En (5, +∞), prueba x=6: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−5,−1)∪(1,5).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve −(x+2)(x−1)(x−3)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−2, 1] ∪ [3, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −2, 1, 3.
  3. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es positivo.
  4. En (−2, 1), prueba x=−12: el signo es negativo.
  5. En (1, 3), prueba x=2: el signo es positivo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−2, 1] ∪ [3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve −(x+3)(x−1)(x−4)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−3, 1] ∪ [4, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −3, 1, 4.
  3. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es positivo.
  4. En (−3, 1), prueba x=−1: el signo es negativo.
  5. En (1, 4), prueba x=52: el signo es positivo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−3, 1] ∪ [4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve −(x+4)(x−1)(x−5)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−4, 1] ∪ [5, +∞)

  1. Dominio: todos los reales.
  2. Puntos críticos ordenados: −4, 1, 5.
  3. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es positivo.
  4. En (−4, 1), prueba x=−32: el signo es negativo.
  5. En (1, 5), prueba x=3: el signo es positivo.
  6. En (5, +∞), prueba x=6: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−4, 1] ∪ [5, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve x3−4x<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−2)∪(0,2)

  1. Factoriza primero:x3−4x=x(x−2)(x+2).
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −2, 0, 2.
  4. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  5. En (−2, 0), prueba x=−1: el signo es positivo.
  6. En (0, 2), prueba x=1: el signo es negativo.
  7. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−∞,−2)∪(0,2).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve x3−9x<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−3)∪(0,3)

  1. Factoriza primero:x3−9x=x(x−3)(x+3).
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −3, 0, 3.
  4. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  5. En (−3, 0), prueba x=−32: el signo es positivo.
  6. En (0, 3), prueba x=32: el signo es negativo.
  7. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−∞,−3)∪(0,3).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve x3−16x<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−4)∪(0,4)

  1. Factoriza primero:x3−16x=x(x−4)(x+4).
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −4, 0, 4.
  4. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  5. En (−4, 0), prueba x=−2: el signo es positivo.
  6. En (0, 4), prueba x=2: el signo es negativo.
  7. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−∞,−4)∪(0,4).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve (2x−1)(x+2)(x−2)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−2,12)∪(2,+∞)

  1. El factor 2x−1 tiene raíz 12, no 1. Su coeficiente principal 2 es positivo.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados:−2,12,2.
  4. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  5. En (−2,12), prueba x=−34: el signo es positivo.
  6. En (12,2), prueba x=54: el signo es negativo.
  7. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−2,12)∪(2,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve (2x−1)(x+3)(x−3)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−3,12)∪(3,+∞)

  1. El factor 2x−1 tiene raíz 12, no 1. Su coeficiente principal 2 es positivo.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados:−3,12,3.
  4. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  5. En (−3,12), prueba x=−54: el signo es positivo.
  6. En (12,3), prueba x=74: el signo es negativo.
  7. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−3,12)∪(3,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve (2x−1)(x+4)(x−4)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−4,12)∪(4,+∞)

  1. El factor 2x−1 tiene raíz 12, no 1. Su coeficiente principal 2 es positivo.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados:−4,12,4.
  4. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  5. En (−4,12), prueba x=−74: el signo es positivo.
  6. En (12,4), prueba x=94: el signo es negativo.
  7. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución:(−4,12)∪(4,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué basta un valor por intervalo, pero no basta un valor para toda la recta? ¿Cómo cambia la solución si multiplicas toda la expresión por −1?

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