EATRYL
Preparatoria

Raíces repetidas y soluciones aisladas

Distingue cuándo el signo cambia y cuándo una raíz aislada también resuelve la inecuación.

Antes de empezar: Tabla de signos, potencias pares e impares e inclusión de extremos.

Al terminar: Distingue cuándo el signo cambia y cuándo una raíz aislada también resuelve la inecuación.

Recupera las bases: Raíces y signos · Multiplicidad de raíces

El exponente importa

La multiplicidad de a es el exponente del factor x−a en la factorización. Para x≠a, una potencia par es positiva a ambos lados; una potencia impar conserva el signo de su base. Al cruzar a, el signo del producto cambia solo si la multiplicidad total de ese punto es impar. Si dos factores tienen la misma raíz, suma sus exponentes.

No alternes signos de forma automática

Una tabla que alterna + y − en todas las raíces falla cuando hay multiplicidad par. Empieza con un punto de prueba y usa la paridad para pasar de un intervalo al siguiente. Comprueba al menos otro intervalo para detectar errores.

(x−2)2(x+1)

Una raíz puede quedar sola

En (x−2)2(x+1)≤0, la solución es (−∞,−1] ∪ {2}. El punto 2 se incluye porque produce cero; sus vecinos no cumplen. No rellenes el espacio entre −1 y 2.

Un producto de cuadrados

Un producto de cuadrados es no negativo en toda la recta. Por eso una comparación estricta con cero puede dar el conjunto vacío. Si antepones un signo negativo, el producto es no positivo: pedir que sea ≥0 deja únicamente sus ceros. No confundir «no hay intervalos» con «no hay soluciones».

De la tabla al dibujo

Una raíz de multiplicidad impar cruza el eje horizontal; una de multiplicidad par lo toca y regresa al mismo lado cuando el resto de factores no se anula allí. En el modelo, la recta de soluciones muestra puntos abiertos, cerrados y aislados, y la tabla conserva el argumento exacto.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Resuelve (x−1)2(x+1)>0.

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:(−1,1)∪(1,+∞).

Caso resuelto 2

Resuelve (x−1)2(x+1)≤0.

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ {1}.

Caso resuelto 3

Resuelve (x+1)3(x−1)2≥0.

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−1, +∞).

Error frecuente: Eliminar una raíz doble porque el signo no cambia, o incluir todos sus vecinos cuando solo la raíz cumple.

Predice · Cambia · Justifica

Laboratorio de signos y extremos

Predice el signo antes de mover una raíz. Haz coincidir a y b y observa cómo se suman sus multiplicidades. La recta menta representa la solución, no la gráfica de la función.

(x−2)2(x+1)≤0
−12
Tabla de signos
Intervalo(−∞, −1)(−1, 2)(2, +∞)
Punto de prueba−2123
Coeficiente+++
N:(x−2)2+++
N: (x+1)−++
Signo total−++

S = (−∞, −1] ∪ {2}

N: numerador; D: denominador. Menta relleno: punto incluido. Menta vacío: extremo excluido. Naranja vacío: fuera del dominio. Las flechas continúan hasta infinito.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve (x−2)2(x+1)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−1,2)∪(2,+∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 2.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 2), prueba x=12: el signo es positivo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:(−1,2)∪(2,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve (x−3)2(x+1)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−1,3)∪(3,+∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 3.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 3), prueba x=1: el signo es positivo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:(−1,3)∪(3,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve (x−4)2(x+1)>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−1,4)∪(4,+∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 4.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 4), prueba x=32: el signo es positivo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:(−1,4)∪(4,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve (x−2)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ {2}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 2.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 2), prueba x=12: el signo es positivo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ {2}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve (x−3)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ {3}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 3.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 3), prueba x=1: el signo es positivo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ {3}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve (x−4)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ {4}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 4.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  5. En (−1, 4), prueba x=32: el signo es positivo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ {4}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve (x+2)2(x−2)2<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −2, 2.
  4. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es positivo.
  5. En (−2, 2), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: ∅.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve (x+3)2(x−3)2<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −3, 3.
  4. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es positivo.
  5. En (−3, 3), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: ∅.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve (x+4)2(x−4)2<0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −4, 4.
  4. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es positivo.
  5. En (−4, 4), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: ∅.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve −(x+2)2(x−2)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−2}∪{2}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −2, 2.
  4. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  5. En (−2, 2), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:{−2}∪{2}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve −(x+3)2(x−3)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−3}∪{3}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −3, 3.
  4. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  5. En (−3, 3), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:{−3}∪{3}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve −(x+4)2(x−4)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−4}∪{4}

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −4, 4.
  4. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  5. En (−4, 4), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es negativo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución:{−4}∪{4}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve (x+2)3(x−2)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−2, +∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −2, 2.
  4. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  5. En (−2, 2), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−2, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve (x+3)3(x−3)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−3, +∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −3, 3.
  4. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  5. En (−3, 3), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve (x+4)3(x−4)2≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−4, +∞)

  1. Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo al cruzarla; una de multiplicidad impar sí. Evalúa también los ceros: pueden ser soluciones aisladas.
  2. Dominio: todos los reales.
  3. Puntos críticos ordenados: −4, 4.
  4. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  5. En (−4, 4), prueba x=0: el signo es positivo.
  6. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  7. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  8. Conjunto solución: [−4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Construye una inecuación cuya solución sean exactamente dos puntos. Explica por qué ningún intervalo puede formar parte de su solución.

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