Factorización y raíces de polinomios cúbicos

Antes de empezar: Producto cero, identidades notables y ecuaciones cuadráticas.

Al terminar: Usa factor común, el teorema del factor y Ruffini para resolver cúbicas sencillas.

Recupera las bases: Elegir una factorización · Factorizar y resolver

La factorización convierte una ecuación en casos

Primero escribe $P (x) = 0$ . Si P es un producto, basta que uno de sus factores sea cero. Extrae el factor común antes de buscar métodos más largos; por ejemplo, dividir $x^{3} - 4 x = 0$ entre x perdería la solución $x = 0$ . En esta lección resolvemos en los números reales.

x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)

Teoremas del resto y del factor

Al dividir P(x) por x−r se obtiene $P (x) = (x - r) Q (x) + R,$ con resto constante R. Sustituir $x = r$ demuestra $R = P (r)$ . Por eso x−r es factor exactamente cuando $P (r) = 0$ . Probar una raíz es evaluar el polinomio; el valor que se prueba lleva el signo opuesto al término constante de x−r.

P (x) = (x - r) Q (x) + P (r)

Ruffini, paso a paso

Ordena los coeficientes de mayor a menor grado y escribe cero por cada potencia ausente. Para dividir entre x−r: baja el primer coeficiente; multiplícalo por r y súmalo al siguiente; repite. El último número es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente, cuyo grado disminuye en uno.

Ejemplo $: x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ dividido entre x−1. Los coeficientes son 1, −2, −5, 6. Baja $1; - 2 + 1 = - 1; - 5 + (- 1) = - 6; 6 + (- 6) = 0$ . El cociente es $x^{2} - x - 6$ .

Candidatos racionales y límites del método

Si el polinomio tiene coeficientes enteros, una raíz racional $\frac{p}{q}$ escrita en forma irreducible debe tener p divisor del término constante y q divisor del coeficiente principal. Es una lista de candidatos, no de soluciones. Si el término constante es cero, extrae x primero. Si no encuentras raíces racionales, todavía puede haber raíces irracionales; Ruffini no garantiza que toda cúbica se resuelva con enteros.

Multiplicidad y gráfica

Una raíz de multiplicidad par hace que la gráfica toque el eje sin cambiar de signo localmente; una de multiplicidad impar lo cruza. El conjunto solución enumera cada raíz una sola vez. Una cúbica real tiene al menos una raíz real, pero puede tener una, dos o tres distintas. Para asegurar que terminaste, resuelve también el factor cuadrático restante.

Ejemplos resueltos

Factor común primero

$x^{3} - 9 x = 0$

$x (x^{2} - 9) = x (x - 3) (x + 3)$ .
Iguala cada factor a cero.
$S = {- 3, 0, 3}$ ; expandir recupera el polinomio inicial.

Un cociente que ya conocemos

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ .
Ruffini con 1 da $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ .
$P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2); S = {- 2, 1, 3}$ .

El factor restante no tiene raíces reales

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 = 0$

Agrupa $x^{2} (x - 2) + (x - 2)$ .
Factoriza $(x - 2) (x^{2} + 1)$ .
Como $x^{2} + 1 > 0$ en $ℝ, S = {2}$ .

Error frecuente: Omitir coeficientes cero en Ruffini o detenerse después de encontrar una sola raíz.

Predice · Experimenta · Explica

Tres factores, raíces que pueden coincidir

Mueve las raíces y observa cuándo la curva cruza el eje o lo toca. Las raíces coincidentes se cuentan una sola vez como soluciones.

P (x) = (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)

Soluciones: {−2, 1, 3}. Raíz −2: multiplicidad 1; Raíz 1: multiplicidad 1; Raíz 3: multiplicidad 1.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Factoriza $x^{3} - 4 x$ y resuelve $x^{3} - 4 x = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−2, 0, 2}

Extrae $x : x (x^{2} - 4) = 0$ .
Diferencia de cuadrados $: x (x - 2) (x + 2) = 0$ .
Cada factor puede ser cero $: x = - 2, 0$ o 2. No dividas por x: perderías el cero.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Factoriza $x^{3} - 9 x$ y resuelve $x^{3} - 9 x = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−3, 0, 3}

Extrae $x : x (x^{2} - 9) = 0$ .
Diferencia de cuadrados $: x (x - 3) (x + 3) = 0$ .
Cada factor puede ser cero $: x = - 3, 0$ o 3. No dividas por x: perderías el cero.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Factoriza $x^{3} - 16 x$ y resuelve $x^{3} - 16 x = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−4, 0, 4}

Extrae $x : x (x^{2} - 16) = 0$ .
Diferencia de cuadrados $: x (x - 4) (x + 4) = 0$ .
Cada factor puede ser cero $: x = - 4, 0$ o 4. No dividas por x: perderías el cero.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ y resuelve $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 2, 3}

Prueba $x = 2$ : el resto es $P (2) = 0$ .
Divide por x−2 con Ruffini. El cociente es $x^{2} - 2 x - 3$ .
Factoriza el cociente: (x−3)(x+1).
El producto completo tiene ceros −1, 2 y 3; comprueba mediante expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12$ y resuelve $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 3, 4}

Prueba $x = 3$ : el resto es $P (3) = 0$ .
Divide por x−3 con Ruffini. El cociente es $x^{2} - 3 x - 4$ .
Factoriza el cociente: (x−4)(x+1).
El producto completo tiene ceros −1, 3 y 4; comprueba mediante expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Factoriza $x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20$ y resuelve $x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 4, 5}

Prueba $x = 4$ : el resto es $P (4) = 0$ .
Divide por x−4 con Ruffini. El cociente es $x^{2} - 4 x - 5$ .
Factoriza el cociente: (x−5)(x+1).
El producto completo tiene ceros −1, 4 y 5; comprueba mediante expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ y resuelve $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 2}

$P (2) = 0,$ así que x−2 es factor.
El cociente es $x^{2} - x - 2,$ que todavía contiene x−2.
$P (x) = {(x - 2)}^{2} (x + 1)$ .
Las soluciones distintas son −1 y 2. La raíz 2 tiene multiplicidad 2, pero se escribe una sola vez en el conjunto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Factoriza $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ y resuelve $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 3}

$P (3) = 0,$ así que x−3 es factor.
El cociente es $x^{2} - 2 x - 3,$ que todavía contiene x−3.
$P (x) = {(x - 3)}^{2} (x + 1)$ .
Las soluciones distintas son −1 y 3. La raíz 3 tiene multiplicidad 2, pero se escribe una sola vez en el conjunto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Factoriza $x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16$ y resuelve $x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 16 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 4}

$P (4) = 0,$ así que x−4 es factor.
El cociente es $x^{2} - 3 x - 4,$ que todavía contiene x−4.
$P (x) = {(x - 4)}^{2} (x + 1)$ .
Las soluciones distintas son −1 y 4. La raíz 4 tiene multiplicidad 2, pero se escribe una sola vez en el conjunto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Factoriza $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ y resuelve $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${- 1, \frac{1}{2}, 2}$

Por el teorema de la raíz racional también hay que probar fracciones: el coeficiente principal es 2.
$P (\frac{1}{2}) = 0$ ; dividir por $x - \frac{1}{2}$ da $2 x^{2} - 2 x - 4$ .
Extrae el 2 del cociente $: P (x) = (2 x - 1) (x - 2) (x + 1)$ .
Producto cero $: x = \frac{1}{2}, 2$ o −1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Factoriza $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3$ y resuelve $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${- 1, \frac{1}{2}, 3}$

Por el teorema de la raíz racional también hay que probar fracciones: el coeficiente principal es 2.
$P (\frac{1}{2}) = 0$ ; dividir por $x - \frac{1}{2}$ da $2 x^{2} - 4 x - 6$ .
Extrae el 2 del cociente $: P (x) = (2 x - 1) (x - 3) (x + 1)$ .
Producto cero $: x = \frac{1}{2}, 3$ o −1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Factoriza $2 x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 4$ y resuelve $2 x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${- 1, \frac{1}{2}, 4}$

Por el teorema de la raíz racional también hay que probar fracciones: el coeficiente principal es 2.
$P (\frac{1}{2}) = 0$ ; dividir por $x - \frac{1}{2}$ da $2 x^{2} - 6 x - 8$ .
Extrae el 2 del cociente $: P (x) = (2 x - 1) (x - 4) (x + 1)$ .
Producto cero $: x = \frac{1}{2}, 4$ o −1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Factoriza $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ y resuelve $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {2}

$P (2) = 0$ ; divide por x−2.
Queda $P (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ .
Para todo real $x, x^{2} + 2 > 0$ : ese factor nunca es cero.
En los reales $, S = {2}$ . Una cúbica no tiene necesariamente tres raíces reales distintas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 9$ y resuelve $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 9 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {3}

$P (3) = 0$ ; divide por x−3.
Queda $P (x) = (x - 3) (x^{2} + 3)$ .
Para todo real $x, x^{2} + 3 > 0$ : ese factor nunca es cero.
En los reales $, S = {3}$ . Una cúbica no tiene necesariamente tres raíces reales distintas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$ y resuelve $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {4}

$P (4) = 0$ ; divide por x−4.
Queda $P (x) = (x - 4) (x^{2} + 4)$ .
Para todo real $x, x^{2} + 4 > 0$ : ese factor nunca es cero.
En los reales $, S = {4}$ . Una cúbica no tiene necesariamente tres raíces reales distintas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Explica por qué encontrar $P (r) = 0$ permite reducir el grado, pero no asegura haber encontrado todas las soluciones.

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