Ecuaciones bicuadradas: sustituir y regresar a x

Antes de empezar: Factorización de cuadráticas, raíces cuadradas y conjuntos solución.

Al terminar: Reduce potencias cuartas a una cuadrática sin aceptar valores imposibles de $x^{2}$ .

Recupera las bases: Fórmula general · Raíces y candidatos

Reconoce la estructura

Una bicuadrada tiene forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0,$ con $a \neq 0$ : no aparecen $x^{3}$ ni x. El cambio $t = x^{2}$ convierte $x^{4}$ en $t^{2}$ . No cualquier ecuación de cuarto grado admite este cambio; hay que identificar la estructura antes de sustituir.

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

a t^{2} + b t + c = 0, t = x^{2} \geq 0

El filtro t≥0 forma parte del problema

Resuelve la cuadrática en t. Cada valor positivo t produce $x = \sqrt{t}$ y $x = - \sqrt{t}; t = 0$ produce solamente $x = 0; t < 0$ no produce soluciones reales. Si t se repite, no repitas las soluciones. Una bicuadrada puede tener cero, una, dos, tres o cuatro soluciones reales distintas.

Mantén respuestas exactas

Si aparece $t = 3,$ las soluciones son $\pm \sqrt{3}$ . Un decimal redondeado sirve para ubicar puntos en una gráfica, pero no sustituye la igualdad exacta. Para comprobarlas, usa $x^{2} = 3$ y $x^{4} = 9$ directamente, sin redondear.

Una expresión completa puede ser la nueva variable

La misma idea funciona con $t = {(x - h)}^{2}$ cuando el enunciado contiene ${(x - h)}^{4} y {(x - h)}^{2}$ . Después de filtrar $t \geq 0,$ resuelve $x = h \pm \sqrt{t}$ . Si eliges otra sustitución, analiza su rango: no toda nueva variable tiene necesariamente la condición $t \geq 0$ .

Simetría y comprobación

En una bicuadrada sin desplazamiento, cambiar x por −x deja la ecuación igual. Por eso las raíces no nulas vienen en parejas opuestas. En la forma desplazada, la simetría está alrededor de $x = h$ . Esta observación ayuda a detectar respuestas incompletas, pero la verificación se realiza en la ecuación original.

Ejemplos resueltos

Cuatro soluciones

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

$t = x^{2} \geq 0; t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4) = 0$ .
$t = 1$ o 4: ambos se admiten.
Regresa $a x : S = {- 2, - 1, 1, 2}$ .

Una raíz auxiliar que se descarta

$x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$(t - 3) (t + 2) = 0; t = 3$ o −2.
Descarta $t = - 2$ porque $x^{2} \geq 0$ en ℝ.
$S = {- \sqrt{3}, \sqrt{3}}$ ; al sustituir $: 9 - 3 - 6 = 0$ .

Una raíz repetida puede dar solo un x

$x^{4} = 0$

$t^{2} = 0$ da $t = 0$ con multiplicidad 2.
$x^{2} = 0$ da $x = 0$ .
$S = {0}$ ; no se escriben cuatro ceros en un conjunto.

Error frecuente: Dar las soluciones de t como si fueran las de x, o aceptar t negativo en los reales.

Predice · Experimenta · Explica

De las raíces auxiliares a las raíces reales

La curva es $(x^{2} - u) (x^{2} - v)$ . Los controles representan los valores auxiliares u y v: los negativos se descartan y los positivos producen dos raíces.

(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = 0

Valores auxiliares: 1 admitido; 4 admitido. Soluciones exactas: {−2, −1, 1, 2}. 4 solución(es) distinta(s).

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−2, 0, 2}

Usa $t = x^{2},$ con $t \geq 0$ .
$t^{2} - 4 t = t (t - 4) = 0 : t = 0$ o 4.
Regresa $a x : x^{2} = 0$ da $x = 0; x^{2} = 4$ da $x = \pm 2$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve $x^{4} - 9 x^{2} = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−3, 0, 3}

Usa $t = x^{2},$ con $t \geq 0$ .
$t^{2} - 9 t = t (t - 9) = 0 : t = 0$ o 9.
Regresa $a x : x^{2} = 0$ da $x = 0; x^{2} = 9$ da $x = \pm 3$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve $x^{4} - 16 x^{2} = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−4, 0, 4}

Usa $t = x^{2},$ con $t \geq 0$ .
$t^{2} - 16 t = t (t - 16) = 0 : t = 0$ o 16.
Regresa $a x : x^{2} = 0$ da $x = 0; x^{2} = 16$ da $x = \pm 4$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−3, −2, 2, 3}

Sustituye $t = x^{2} \geq 0$ .
Factoriza $: (t - 4) (t - 9) = 0$ .
Los dos valores de t son positivos. Cada uno da dos $x : \pm 2 y \pm 3$ .
Son cuatro soluciones distintas; no confundas t con x.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve $x^{4} - 25 x^{2} + 144 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−4, −3, 3, 4}

Sustituye $t = x^{2} \geq 0$ .
Factoriza $: (t - 9) (t - 16) = 0$ .
Los dos valores de t son positivos. Cada uno da dos $x : \pm 3 y \pm 4$ .
Son cuatro soluciones distintas; no confundas t con x.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve $x^{4} - 41 x^{2} + 400 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−5, −4, 4, 5}

Sustituye $t = x^{2} \geq 0$ .
Factoriza $: (t - 16) (t - 25) = 0$ .
Los dos valores de t son positivos. Cada uno da dos $x : \pm 4 y \pm 5$ .
Son cuatro soluciones distintas; no confundas t con x.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve $x^{4} - x^{2} - 2 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${- \sqrt{2}, \sqrt{2}}$

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$t^{2} + (- 1) t - 2 = (t - 2) (t + 1) = 0$ .
$t = - 1$ es imposible para x real $; t = 2$ sí se admite.
Las soluciones son $x = \pm \sqrt{2}$ . Comprueba que $x^{2} = 2$ ; conserva la forma exacta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${- \sqrt{3}, \sqrt{3}}$

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$t^{2} + (- 2) t - 3 = (t - 3) (t + 1) = 0$ .
$t = - 1$ es imposible para x real $; t = 3$ sí se admite.
Las soluciones son $x = \pm \sqrt{3}$ . Comprueba que $x^{2} = 3$ ; conserva la forma exacta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−2, 2}

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$t^{2} + (- 3) t - 4 = (t - 4) (t + 1) = 0$ .
$t = - 1$ es imposible para x real $; t = 4$ sí se admite.
Las soluciones son $x = \pm 2$ . Comprueba que $x^{2} = 4$ ; conserva la forma exacta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve $x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$(t + 1) (t + 2) = 0$ da $t = - 1$ o $t = - 2$ .
Ambos son negativos, así que no producen x reales.
También puedes comprobar que el polinomio original es estrictamente positivo para todo x real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve $x^{4} + 4 x^{2} + 3 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$(t + 1) (t + 3) = 0$ da $t = - 1$ o $t = - 3$ .
Ambos son negativos, así que no producen x reales.
También puedes comprobar que el polinomio original es estrictamente positivo para todo x real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve $x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Sea $t = x^{2} \geq 0$ .
$(t + 1) (t + 4) = 0$ da $t = - 1$ o $t = - 4$ .
Ambos son negativos, así que no producen x reales.
También puedes comprobar que el polinomio original es estrictamente positivo para todo x real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve ${(x - 1)}^{4} - 8 {(x - 1)}^{2} + 16 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−1, 3}

Ahora conviene $t = {(x - 1)}^{2} \geq 0$ .
${(t - 4)}^{2} = 0$ tiene un solo valor auxiliar $: t = 4$ .
${(x - 1)}^{2} = 4$ da $x - 1 = \pm 2$ .
Por tanto $x = - 1$ o $x = 3$ ; la repetición del factor no duplica las soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve ${(x - 1)}^{4} - 18 {(x - 1)}^{2} + 81 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−2, 4}

Ahora conviene $t = {(x - 1)}^{2} \geq 0$ .
${(t - 9)}^{2} = 0$ tiene un solo valor auxiliar $: t = 9$ .
${(x - 1)}^{2} = 9$ da $x - 1 = \pm 3$ .
Por tanto $x = - 2$ o $x = 4$ ; la repetición del factor no duplica las soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve ${(x - 1)}^{4} - 32 {(x - 1)}^{2} + 256 = 0$ en ℝ.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {−3, 5}

Ahora conviene $t = {(x - 1)}^{2} \geq 0$ .
${(t - 16)}^{2} = 0$ tiene un solo valor auxiliar $: t = 16$ .
${(x - 1)}^{2} = 16$ da $x - 1 = \pm 4$ .
Por tanto $x = - 3$ o $x = 5$ ; la repetición del factor no duplica las soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Construye ejemplos con cero, una y tres soluciones reales distintas. Explica el papel del valor $t = 0$ .

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