EATRYL
Secundaria · Preparatoria

La fórmula general: deducir, sustituir y comprobar

Resuelve cuadráticas con coeficientes de cualquier signo y resultados exactos.

Antes de empezar: Completar el cuadrado, fracciones y radicales.

Al terminar: Resuelve cuadráticas con coeficientes de cualquier signo y resultados exactos.

Recupera las bases: Fracciones exactas · Conjugados

La fórmula nace de completar el cuadrado

En ax²+bx+c=0, divide por a≠0, pasa la constante al otro lado y suma b²/(4a²). Se obtiene (x+b/(2a))²=(b²−4ac)/(4a²). Otra forma equivalente evita separar raíces de cocientes: (2ax+b)²=b²−4ac. Tomar ambos signos y despejar produce la fórmula general.

x=−b±b2−4ac2a

Identificar coeficientes con sus signos

En 2x²−5x−3=0, a=2, b=−5 y c=−3. Entonces −b=5 y b²=(−5)²=25. Escribe paréntesis al sustituir; −5² sin paréntesis significa −25 en la jerarquía usual. El denominador 2a divide todo el numerador, tanto −b como el radical.

Orden de trabajo

Reduce a la forma estándar; registra a,b,c; calcula Δ=b²−4ac; decide si hay raíces reales; sustituye con ambos signos; simplifica y comprueba. Si a=0, detente: no hay una cuadrática y la fórmula no se puede usar. Resuelve entonces la ecuación lineal o clasifica la igualdad resultante.

Exacto primero, aproximado después

√12=2√3, así que (4±√12)/2=2±√3. La forma exacta conserva toda la información. Una aproximación decimal sirve para ubicar raíces en el gráfico, pero al sustituir puede dar un residuo pequeño distinto de cero. Ese residuo no invalida una raíz exacta bien obtenida.

Comprobaciones complementarias

x1+x2=−ba,x1x2=ca

Cuando hay dos raíces contando multiplicidad, estas relaciones salen al expandir a(x−x₁)(x−x₂). Ayudan a detectar un signo equivocado, aunque la comprobación directa en la ecuación original sigue siendo necesaria si hubo restricciones o transformaciones adicionales.

Ejemplos resueltos

Signos y denominador completo

Resuelve 3x²−5x−2=0.

  1. Δ=25−4·3·(−2)=49.
  2. x=(5±7)/6: x=2 o x=−1/3.
  3. La suma es 5/3 y el producto −2/3, como −b/a y c/a.

Radical simplificado

Resuelve x²−4x+1=0.

  1. Δ=16−4=12.
  2. x=(4±√12)/2=2±√3.
  3. La suma es 4 y el producto (2+√3)(2−√3)=1.

Error frecuente: Dividir solo el radical entre 2a o sustituir b² sin respetar el signo y los paréntesis.

Predice · Explora · Justifica

Aplicar la fórmula paso a paso

Cambia los coeficientes y recorre identificación, discriminante y raíces. Si a=0, se clasifica el caso lineal o degenerado.

a=1, b=-4, c=1-8-6-4-202468-10-6-2261014Horizontal: x · Vertical: f(x)

Cambia los coeficientes y recorre identificación, discriminante y raíces. Si a=0, se clasifica el caso lineal o degenerado.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Ecuación: x² − 4x + 4 = 0. Calcula el discriminante.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 0

  1. Identifica a=1, b=-4, c=4; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=0.
  3. La raíz doble es −b/(2a)=2; el conjunto tiene un solo elemento.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Ecuación: x² − 5x + 6 = 0. Calcula el discriminante.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 1

  1. Identifica a=1, b=-5, c=6; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=1.
  3. La fórmula da x=(5±√1)/(2).
  4. x = 2 o x = 3. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Ecuación: x² − 6x + 8 = 0. Calcula el discriminante.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 4

  1. Identifica a=1, b=-6, c=8; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=4.
  3. La fórmula da x=(6±√4)/(2).
  4. x = 2 o x = 4. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Ecuación: 2x² − 3x − 2 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 2

  1. Identifica a=2, b=-3, c=-2; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=25.
  3. La fórmula da x=(3±√25)/(4).
  4. x = -1/2 o x = 2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Ecuación: 2x² − 5x − 3 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 3

  1. Identifica a=2, b=-5, c=-3; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=49.
  3. La fórmula da x=(5±√49)/(4).
  4. x = -1/2 o x = 3. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Ecuación: 2x² − 7x − 4 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1/2 o x = 4

  1. Identifica a=2, b=-7, c=-4; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=81.
  3. La fórmula da x=(7±√81)/(4).
  4. x = -1/2 o x = 4. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Ecuación: x² + 2x − 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1 ± √2

  1. Identifica a=1, b=2, c=-1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=8.
  3. La fórmula da x=(-2±√8)/(2).
  4. x = -1 ± √2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Ecuación: x² + 3x − 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (-3 ± √13)/2

  1. Identifica a=1, b=3, c=-1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=13.
  3. La fórmula da x=(-3±√13)/(2).
  4. x = (-3 ± √13)/2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Ecuación: x² + 4x − 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -2 ± √5

  1. Identifica a=1, b=4, c=-1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=20.
  3. La fórmula da x=(-4±√20)/(2).
  4. x = -2 ± √5. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Ecuación: −2x² + 2x + 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (1 ± √3)/2

  1. Identifica a=-2, b=2, c=1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=12.
  3. La fórmula da x=(-2±√12)/(-4).
  4. x = (1 ± √3)/2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Ecuación: −2x² + 3x + 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (3 ± √17)/4

  1. Identifica a=-2, b=3, c=1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=17.
  3. La fórmula da x=(-3±√17)/(-4).
  4. x = (3 ± √17)/4. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Ecuación: −2x² + 4x + 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (2 ± √6)/2

  1. Identifica a=-2, b=4, c=1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=24.
  3. La fórmula da x=(-4±√24)/(-4).
  4. x = (2 ± √6)/2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Ecuación: 3x² + 4x − 2 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (-2 ± √10)/3

  1. Identifica a=3, b=4, c=-2; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=40.
  3. La fórmula da x=(-4±√40)/(6).
  4. x = (-2 ± √10)/3. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Ecuación: 3x² + 6x − 3 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -1 ± √2

  1. Identifica a=3, b=6, c=-3; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=72.
  3. La fórmula da x=(-6±√72)/(6).
  4. x = -1 ± √2. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Ecuación: 3x² + 8x − 4 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = (-4 ± 2√7)/3

  1. Identifica a=3, b=8, c=-4; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=112.
  3. La fórmula da x=(-8±√112)/(6).
  4. x = (-4 ± 2√7)/3. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué la fórmula tiene dos signos aunque en algunos casos solo produzca una raíz distinta?

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