Antes de empezar: Operaciones con fracciones, distributiva y ecuaciones de dos pasos.
Al terminar: Resuelve paréntesis, signos y denominadores sin depender de atajos.
Una ecuación es una pregunta sobre valores
Buscamos los números reales que hacen iguales ambos miembros. Sumar la misma expresión a ambos lados y multiplicar o dividir por una constante no nula son operaciones reversibles. Por eso conservan exactamente el conjunto solución. «Pasar al otro lado» es una abreviación de estas operaciones, no una regla que cambie signos por sí sola.
Eliminar denominadores constantes
Calcula un múltiplo común no nulo de todos los denominadores; el mínimo suele simplificar las cuentas. Multiplica por él la igualdad completa, término a término. Si el denominador divide una suma, todo el numerador conserva sus paréntesis hasta aplicar la distributiva.
Multiplicar por 6 da 2(2x−1)−3(x+2)=6; luego 4x−2−3x−6=6, por tanto x=14. Comprobación: 27/3−16/2=9−8=1.
Decimales exactos y aproximados
Un decimal finito es una fracción exacta: 0.25=1/4, 0.5=1/2. Multiplicar por una potencia de diez o por un denominador común evita redondeos. En una ecuación con datos medidos, en cambio, las cifras pueden ser aproximadas y la interpretación debe respetar esa precisión. Aquí los datos decimales se consideran exactos.
Si hay una incógnita en el denominador
Es otro problema: antes de multiplicar hay que excluir los valores que anulan denominadores. Por ejemplo (x²−1)/(x−1)=2 exige x≠1. En ese dominio equivale a x+1=2, cuyo único candidato es x=1, excluido. La ecuación original no tiene solución. El taller se concentra en denominadores constantes; este ejemplo anticipa una precaución indispensable.
Comprobar también detecta errores de planteamiento
Sustituye en la ecuación original, con los paréntesis y denominadores originales. Que un número satisfaga una igualdad obtenida con un paso incorrecto no demuestra que resuelva el problema inicial. Si al simplificar resulta 0=0, todos los reales del dominio sirven; si resulta 0=5, ninguno.
Ejemplos resueltos
Paréntesis y signo menos
Resuelve (x−2)/3−(x+1)/4=1.
- Multiplica por 12: 4(x−2)−3(x+1)=12.
- 4x−8−3x−3=12; x=23.
- Comprueba: 21/3−24/4=7−6=1.
Datos decimales
Resuelve 0.3x+1.2=0.5x−0.8.
- Multiplica por 10: 3x+12=5x−8.
- 20=2x; x=10.
- Ambos miembros originales valen 4.2.
Error frecuente: Multiplicar solo un término por el denominador común o distribuir mal un signo negativo.
Transformar ambos miembros
(2x−k)/3−(x+1)/2=k. Multiplica por 6, distribuye, reduce y despeja: x=8k+3.
(2x−k)/3−(x+1)/2=k. Multiplica por 6, distribuye, reduce y despeja: x=8k+3.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Resuelve x/2+2=5.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Resta 2 en ambos miembros: x/2=3.
- Multiplica ambos miembros por 2: x=6.
- Comprueba 6/2+2=5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Resuelve x/3+2=5.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- Resta 2 en ambos miembros: x/3=3.
- Multiplica ambos miembros por 3: x=9.
- Comprueba 9/3+2=5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Resuelve x/4+2=5.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- Resta 2 en ambos miembros: x/4=3.
- Multiplica ambos miembros por 4: x=12.
- Comprueba 12/4+2=5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Resuelve (x−1)/2=(x+2)/3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- Multiplica por 6: 3(x−1)=2(x+2).
- Agrupa: x=7.
- Ambos cocientes valen 3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Resuelve (x−1)/3=(x+2)/4.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Multiplica por 12: 4(x−1)=3(x+2).
- Agrupa: x=10.
- Ambos cocientes valen 3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Resuelve (x−1)/4=(x+2)/5.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 13
- Multiplica por 20: 5(x−1)=4(x+2).
- Agrupa: x=13.
- Ambos cocientes valen 3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Resuelve (2x−2)/3−(x+1)/2=2.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El signo menos afecta a todo el segundo numerador.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 19
- Multiplica todos los términos por 6: 2(2x−2)−3(x+1)=12.
- 4x−4−3x−3=12.
- x=19.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Resuelve (2x−3)/3−(x+1)/2=3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El signo menos afecta a todo el segundo numerador.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 27
- Multiplica todos los términos por 6: 2(2x−3)−3(x+1)=18.
- 4x−6−3x−3=18.
- x=27.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Resuelve (2x−4)/3−(x+1)/2=4.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
El signo menos afecta a todo el segundo numerador.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 35
- Multiplica todos los términos por 6: 2(2x−4)−3(x+1)=24.
- 4x−8−3x−3=24.
- x=35.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Resuelve 0.25x+2.5=0.5x−1.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 14
- Multiplica toda la igualdad por 4: x+10=2x−4.
- Resta x y suma 4: x=14.
- Los decimales finitos se transforman exactamente en fracciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Resuelve 0.25x+3.5=0.5x−1.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18
- Multiplica toda la igualdad por 4: x+14=2x−4.
- Resta x y suma 4: x=18.
- Los decimales finitos se transforman exactamente en fracciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Resuelve 0.25x+4.5=0.5x−1.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 22
- Multiplica toda la igualdad por 4: x+18=2x−4.
- Resta x y suma 4: x=22.
- Los decimales finitos se transforman exactamente en fracciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Resuelve (x+2)/2−(x−2)/3=(x+10)/6. Indica todo el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- Multiplica por 6: 3(x+2)−2(x−2)=x+10.
- Ambos lados quedan x+10; es una identidad.
- Los denominadores constantes no excluyen ningún real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Resuelve (x+3)/2−(x−3)/3=(x+15)/6. Indica todo el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- Multiplica por 6: 3(x+3)−2(x−3)=x+15.
- Ambos lados quedan x+15; es una identidad.
- Los denominadores constantes no excluyen ningún real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Resuelve (x+4)/2−(x−4)/3=(x+20)/6. Indica todo el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- Multiplica por 6: 3(x+4)−2(x−4)=x+20.
- Ambos lados quedan x+20; es una identidad.
- Los denominadores constantes no excluyen ningún real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué multiplicar ambos miembros por 0 no es una transformación equivalente?
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