Antes de empezar: Variables en ambos miembros y factorización.
Al terminar: Clasifica antes de dividir y conserva los casos excepcionales.
Reducir sin perder información
Restar cx y b da (a−c)x=d−b. Si a−c no es cero, hay una única solución x=(d−b)/(a−c). Si a=c, no se puede dividir entre a−c: hay que mirar las constantes. Si además b=d, cualquier real satisface la igualdad; si b≠d, ninguno.
Tres lecturas de un mismo problema
Algebraicamente se comparan coeficientes y constantes. Gráficamente se comparan las rectas y=ax+b e y=cx+d: una intersección, rectas paralelas distintas o rectas coincidentes. Lógicamente la igualdad final es una condición para un valor, una contradicción o una identidad. La gráfica ilustra; la clasificación exacta procede de los coeficientes.
Parámetro e incógnita tienen funciones distintas
En (a−2)x=a²−4, se resuelve para x; a se considera fijo pero puede tomar distintos valores entre problemas. Para a≠2, factorizar permite obtener x=a+2. Para a=2 la original queda 0=0, de modo que todo real es solución. Sustituir a=2 en la fórmula x=a+2 solo produce x=4 y omite infinitas soluciones.
Despejar también exige condiciones
De A=bh/2 se obtiene h=2A/b solo si b≠0. Para un triángulo no degenerado b>0, por lo que la condición ya forma parte del contexto. Si se estudia la igualdad puramente algebraica con b=0, es compatible con cualquier h cuando A=0 e incompatible cuando A≠0.
Cómo usar el explorador
Cambia los coeficientes o selecciona los tres casos. Las rectas se dibujan en una ventana finita. Si el punto de cruce cae fuera de ella, no significa que no exista; el resultado algebraico informa su abscisa y el gráfico lo advierte.
Ejemplos resueltos
Una familia con excepción
Resuelve (t−3)x=2t−6 para x.
- Factoriza 2t−6=2(t−3).
- Si t≠3, divide y obtén x=2.
- Si t=3, queda 0=0: todas las x reales.
Una excepción incompatible
Resuelve (t−3)x=2t−5.
- Si t≠3, x=(2t−5)/(t−3).
- Si t=3, queda 0x=1: ninguna solución.
- El caso excepcional se comprueba en la ecuación original.
Error frecuente: Dividir por un coeficiente con parámetro sin estudiar cuándo se anula.
Una igualdad, dos rectas
ax+b=cx+d. Pendientes distintas: una solución. Pendientes iguales y ordenadas diferentes: ninguna. Rectas coincidentes: todos los reales.
ax+b=cx+d. Pendientes distintas: una solución. Pendientes iguales y ordenadas diferentes: ninguna. Rectas coincidentes: todos los reales.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Resuelve 2x+2=3x−3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta 2x y suma 3: 5=x.
- Los dos lados valen 12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Resuelve 3x+2=4x−3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta 3x y suma 3: 5=x.
- Los dos lados valen 17.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Resuelve 4x+2=5x−3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Resta 4x y suma 3: 5=x.
- Los dos lados valen 22.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Clasifica 2(x+2)=2x+5.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Distribuye: 2x+4=2x+5.
- Restar 2x y 4 deja 0=1.
- Es una contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Clasifica 3(x+2)=3x+7.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Distribuye: 3x+6=3x+7.
- Restar 3x y 6 deja 0=1.
- Es una contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Clasifica 4(x+2)=4x+9.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Distribuye: 4x+8=4x+9.
- Restar 4x y 8 deja 0=1.
- Es una contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Clasifica 2(x−2)+6=2(x+1).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- El lado izquierdo se reduce a 2x+2.
- El derecho también.
- Cada real satisface la igualdad.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Clasifica 3(x−2)+9=3(x+1).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- El lado izquierdo se reduce a 3x+3.
- El derecho también.
- Cada real satisface la igualdad.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Clasifica 4(x−2)+12=4(x+1).
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Todos los números reales
- El lado izquierdo se reduce a 4x+4.
- El derecho también.
- Cada real satisface la igualdad.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Estudia (a−2)x=4 según el parámetro real a.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠2, x=4/(a−2); si a=2, ninguna solución
- Para a≠2, el coeficiente no es cero y se puede dividir.
- Para a=2 queda 0=4, imposible.
- No sustituyas a=2 en una fórmula con denominador cero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Estudia (a−3)x=6 según el parámetro real a.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠3, x=6/(a−3); si a=3, ninguna solución
- Para a≠3, el coeficiente no es cero y se puede dividir.
- Para a=3 queda 0=6, imposible.
- No sustituyas a=3 en una fórmula con denominador cero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Estudia (a−4)x=8 según el parámetro real a.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠4, x=8/(a−4); si a=4, ninguna solución
- Para a≠4, el coeficiente no es cero y se puede dividir.
- Para a=4 queda 0=8, imposible.
- No sustituyas a=4 en una fórmula con denominador cero.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Estudia (a−2)x=a²−4 según a real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa el caso donde el factor por el que dividirías vale cero.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠2, x=a+2; si a=2, todos los reales
- Factoriza a²−4=(a−2)(a+2).
- Para a≠2, divide entre a−2: x=a+2.
- Para a=2, la original es 0x=0; cualquier x sirve.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Estudia (a−3)x=a²−9 según a real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa el caso donde el factor por el que dividirías vale cero.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠3, x=a+3; si a=3, todos los reales
- Factoriza a²−9=(a−3)(a+3).
- Para a≠3, divide entre a−3: x=a+3.
- Para a=3, la original es 0x=0; cualquier x sirve.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Estudia (a−4)x=a²−16 según a real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa el caso donde el factor por el que dividirías vale cero.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Si a≠4, x=a+4; si a=4, todos los reales
- Factoriza a²−16=(a−4)(a+4).
- Para a≠4, divide entre a−4: x=a+4.
- Para a=4, la original es 0x=0; cualquier x sirve.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Cómo explicarías por qué dos rectas coincidentes no tienen una única solución?
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