Antes de empezar: Reducción, conjuntos solución y parámetros en ecuaciones.
Al terminar: Distingue dependencia, contradicción y casos excepcionales.
Lo que revela una fila reducida
Una fila 0x+0y=0 no añade restricciones. Una fila 0x+0y=5 es imposible y hace incompatible todo el sistema. Si quedan dos condiciones independientes, normalmente se determina un único par. Si queda solo una recta, hay infinitas soluciones sobre ella.
Un criterio sin cocientes peligrosos
Para ax+by=c y dx+ey=f, Δ≠0 garantiza una única solución. Si Δ=0, hay que comprobar compatibilidad, no concluir automáticamente que hay infinitas. En dos filas con coeficientes no todos nulos, la eliminación o los productos cruzados permiten decidir. Las filas 0x+0y=c deben tratarse directamente; dividir coeficientes para formar razones puede dividir por cero.
El parámetro puede cambiar el tipo de sistema
En x+y=3 y x+ty=4, restar produce (t−1)y=1. Para t≠1 hay un par único: y=1/(t−1), x=3−1/(t−1). Para t=1 aparece 0=1 y no hay solución. La fórmula general no existe en ese valor; el caso debe estudiarse en el sistema original.
Dependencia no es ausencia de condiciones
Si la segunda ecuación fuera x+ty=3, entonces para t≠1 se obtiene (3,0). Para t=1 las ecuaciones coinciden y queda (3−s,s), con s real. La frase «cualquier valor» debe especificar qué es libre: puedes elegir y, pero x queda ligado a esa elección.
Sensibilidad cerca del caso excepcional
En la familia incompatible de arriba, cuando t se acerca a 1 sin igualarlo, el cruce puede alejarse mucho. Por ejemplo t=1.1 da y=10 y x=−7; t=1.01 da y=100 y x=−97. Eso explica por qué casi paralelas no equivale a paralelas y por qué los datos redondeados pueden cambiar mucho una solución.
Ejemplos resueltos
Caso compatible
Estudia x+y=5 y x+ty=5.
- Restar da (t−1)y=0.
- Si t≠1: y=0 y x=5.
- Si t=1: (x,y)=(5−s,s), s real.
Caso incompatible
Estudia x+y=5 y x+ty=6.
- Restar da (t−1)y=1.
- Si t≠1: y=1/(t−1), x=5−1/(t−1).
- Si t=1: 0=1; no hay solución.
Error frecuente: Concluir «infinitas soluciones» solo porque se anula el determinante o dividir entre t−1 sin separar t=1.
Cuando el parámetro cambia la solución
Explora x+y=3 y x+ty=3 o 4. El control expresa décimas: t=valor/10. El caso t=1 es excepcional.
Explora x+y=3 y x+ty=3 o 4. El control expresa décimas: t=valor/10. El caso t=1 es excepcional.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Sistema: x + 2y = 2; 2x + 4y = 4. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Sistema: x + 2y = 3; 2x + 4y = 6. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Sistema: x + 2y = 4; 2x + 4y = 8. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Sistema: x + 2y = 2; 2x + 4y = 5. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Sistema: x + 2y = 3; 2x + 4y = 7. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Sistema: x + 2y = 4; 2x + 4y = 9. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Es el caso t=2 de x+y=2k+1 y x+ty=3k+2, con los valores ya sustituidos. Sistema: x + y = 5; x + 2y = 8. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-3; y=3.
- Sustituye en x + y = 5: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 5 y 8, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Es el caso t=2 de x+y=2k+1 y x+ty=3k+2, con los valores ya sustituidos. Sistema: x + y = 7; x + 2y = 11. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-4; y=4.
- Sustituye en x + y = 7: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 7 y 11, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Es el caso t=2 de x+y=2k+1 y x+ty=3k+2, con los valores ya sustituidos. Sistema: x + y = 9; x + 2y = 14. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-5; y=5.
- Sustituye en x + y = 9: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 9 y 14, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Estudia x+y=2 y x+ty=2, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: (x,y)=(2,0). t=1: (x,y)=(2−s,s), s real.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=0.
- Si t≠1, divide: y=0/(t−1); luego x=2−y.
- Si t=1, queda 0=0; solo permanece x+y=2. Toma y=s libre.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Estudia x+y=3 y x+ty=3, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: (x,y)=(3,0). t=1: (x,y)=(3−s,s), s real.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=0.
- Si t≠1, divide: y=0/(t−1); luego x=3−y.
- Si t=1, queda 0=0; solo permanece x+y=3. Toma y=s libre.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Estudia x+y=4 y x+ty=4, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: (x,y)=(4,0). t=1: (x,y)=(4−s,s), s real.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=0.
- Si t≠1, divide: y=0/(t−1); luego x=4−y.
- Si t=1, queda 0=0; solo permanece x+y=4. Toma y=s libre.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Estudia x+y=2 y x+ty=3, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: y=1/(t−1), x=2−1/(t−1). t=1: ninguna solución.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=1.
- Si t≠1, divide: y=1/(t−1); luego x=2−y.
- Si t=1, queda 0=1: contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Estudia x+y=3 y x+ty=4, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: y=1/(t−1), x=3−1/(t−1). t=1: ninguna solución.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=1.
- Si t≠1, divide: y=1/(t−1); luego x=3−y.
- Si t=1, queda 0=1: contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Estudia x+y=4 y x+ty=5, según el parámetro real t. Describe el conjunto solución en el caso excepcional.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Estudia primero cuándo se anula el coeficiente por el que dividirías.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t≠1: y=1/(t−1), x=4−1/(t−1). t=1: ninguna solución.
- Resta la primera ecuación de la segunda: (t−1)y=1.
- Si t≠1, divide: y=1/(t−1); luego x=4−y.
- Si t=1, queda 0=1: contradicción.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
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