Antes de empezar: Operaciones con fracciones y reducción.
Al terminar: Transforma cada ecuación completa y verifica con aritmética exacta.
Cada ecuación tiene su propio denominador común
Multiplicar una ecuación por una constante no nula no altera sus puntos solución. En x/2+y/3=5 usa 6: 3x+2y=30. En x/4−y/2=1 usa 4: x−2y=4. No es obligatorio usar el mismo multiplicador para las dos filas. Sí es obligatorio multiplicar todos los términos de cada fila, incluido el lado derecho.
Un numerador compuesto conserva los paréntesis
Si aparece (x−y)/3+(x+2y)/2=4, al multiplicar por 6 queda 2(x−y)+3(x+2y)=24, y después 5x+4y=24. Un signo delante de una fracción afecta a todo su numerador. Simplifica cada ecuación antes de elegir el método del sistema.
Decimales finitos y redondeo
0.3=3/10 y 0.25=1/4 exactamente. Multiplicar por 100 transforma ambas en enteros, aunque a veces bastan denominadores menores. Si obtienes 1/3, conservar esa fracción permite comprobar exactamente; 0.33 no es igual a 1/3. En problemas de medición el redondeo tiene otra interpretación, que debe declararse.
No crear ecuaciones nuevas por una operación parcial
De x/2+y/3=5 no se obtiene 3x+2y=5, porque falta multiplicar el lado derecho por 6. La versión incorrecta describe otra recta, normalmente paralela. El explorador permite recorrer las filas originales, escaladas y reducidas para ver qué se conserva.
Restricciones que no desaparecen
Este taller trata denominadores constantes no nulos. Si un denominador contiene x o y, primero hay que declarar el dominio; después de eliminarlo, cada candidato debe comprobarse en el sistema original. Esos sistemas no se convierten automáticamente en sistemas lineales equivalentes sobre todo el plano.
Ejemplos resueltos
Dos denominadores comunes
Resuelve x/2+y/3=5 y x/4−y/2=1.
- Multiplica por 6 y 4: 3x+2y=30; x−2y=4.
- Suma: 4x=34; x=17/2.
- Sustituye: y=9/4. Comprobación: 17/4+3/4=5 y 17/8−9/8=1.
Decimales a enteros
Resuelve 0.2x+0.3y=1.3 y 0.4x−0.1y=0.5.
- Multiplica por 10: 2x+3y=13 y 4x−y=5.
- Multiplica la segunda por 3 y suma: 14x=28; x=2.
- 4·2−y=5; y=3. En las originales: 0.4+0.9=1.3 y 0.8−0.3=0.5.
Error frecuente: Redondear una coordenada antes de calcular la otra o multiplicar solo algunos términos.
Denominadores y rectas equivalentes
Multiplica cada ecuación completa por su denominador común. El sistema tiene solución (k,2).
Multiplica cada ecuación completa por su denominador común. El sistema tiene solución (k,2).
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Elimina denominadores en la primera ecuación. Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 2; x - y = -1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (5/6)y=5/2; y=3.
- Sustituye en (1/2)x + (1/3)y = 2: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 2 y -1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Elimina denominadores en la primera ecuación. Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 17/6; x - y = -1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (5/6)y=10/3; y=4.
- Sustituye en (1/2)x + (1/3)y = 17/6: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 17/6 y -1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Elimina denominadores en la primera ecuación. Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 11/3; x - y = -1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (5/6)y=25/6; y=5.
- Sustituye en (1/2)x + (1/3)y = 11/3: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 11/3 y -1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Cada ecuación puede multiplicarse por un mínimo común múltiplo diferente. Sistema: (1/2)x - (1/4)y = 2; (1/3)x + (1/2)y = 0. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -2
- Multiplica la primera ecuación por 1/3 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (-1/3)y=2/3; y=-2.
- Sustituye en (1/2)x - (1/4)y = 2: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,-2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 2 y 0, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Cada ecuación puede multiplicarse por un mínimo común múltiplo diferente. Sistema: (1/2)x - (1/4)y = 11/4; (1/3)x + (1/2)y = -1/6. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -3
- Multiplica la primera ecuación por 1/3 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (-1/3)y=1; y=-3.
- Sustituye en (1/2)x - (1/4)y = 11/4: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,-3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 11/4 y -1/6, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Cada ecuación puede multiplicarse por un mínimo común múltiplo diferente. Sistema: (1/2)x - (1/4)y = 7/2; (1/3)x + (1/2)y = -1/3. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -4
- Multiplica la primera ecuación por 1/3 y la segunda por 1/2; resta para eliminar x.
- Queda (-1/3)y=4/3; y=-4.
- Sustituye en (1/2)x - (1/4)y = 7/2: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,-4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 7/2 y -1/3, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Los coeficientes 3/10, 1/5, 1/2 y −1/10 son decimales exactos. Sistema: (3/10)x + (1/5)y = 4/5; (1/2)x - (1/10)y = 9/10. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 1/2 y la segunda por 3/10; resta para eliminar x.
- Queda (13/100)y=13/100; y=1.
- Sustituye en (3/10)x + (1/5)y = 4/5: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,1). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 4/5 y 9/10, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Los coeficientes 3/10, 1/5, 1/2 y −1/10 son decimales exactos. Sistema: (3/10)x + (1/5)y = 6/5; (1/2)x - (1/10)y = 27/20. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 1/2 y la segunda por 3/10; resta para eliminar x.
- Queda (13/100)y=39/200; y=3/2.
- Sustituye en (3/10)x + (1/5)y = 6/5: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,3/2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 6/5 y 27/20, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Los coeficientes 3/10, 1/5, 1/2 y −1/10 son decimales exactos. Sistema: (3/10)x + (1/5)y = 8/5; (1/2)x - (1/10)y = 9/5. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 1/2 y la segunda por 3/10; resta para eliminar x.
- Queda (13/100)y=13/50; y=2.
- Sustituye en (3/10)x + (1/5)y = 8/5: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 8/5 y 9/5, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Conserva fracciones hasta la comprobación. Sistema: 2x - 3y = -55/21; 4x + y = -47/21. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3/7
- Multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (-14)y=-6; y=3/7.
- Sustituye en 2x - 3y = -55/21: x=-2/3.
- Solución completa: (x,y)=(-2/3,3/7). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -55/21 y -47/21, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Conserva fracciones hasta la comprobación. Sistema: 2x - 3y = -26/7; 4x + y = -24/7. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4/7
- Multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (-14)y=-8; y=4/7.
- Sustituye en 2x - 3y = -26/7: x=-1.
- Solución completa: (x,y)=(-1,4/7). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -26/7 y -24/7, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Conserva fracciones hasta la comprobación. Sistema: 2x - 3y = -101/21; 4x + y = -97/21. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5/7
- Multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (-14)y=-10; y=5/7.
- Sustituye en 2x - 3y = -101/21: x=-4/3.
- Solución completa: (x,y)=(-4/3,5/7). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -101/21 y -97/21, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 2; 3x + 2y = 13. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 3; 3x + 2y = 19. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Sistema: (1/2)x + (1/3)y = 4; 3x + 2y = 25. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué cambiar una ecuación por su doble conserva la recta, pero sumar 1 solo al lado derecho no?
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