Antes de empezar: Los tres métodos básicos de sistemas 2×2.
Al terminar: Reconoce estructuras que ahorran operaciones y explica la equivalencia.
Todos los métodos responden la misma pregunta
Se busca la intersección de dos condiciones. Sustitución reemplaza una expresión por otra igual; igualación compara dos expresiones despejadas para una misma variable; reducción combina ecuaciones para cancelar un término. El método no cambia la solución cuando se realizan pasos equivalentes.
Cuándo conviene sustituir o igualar
Si una ecuación ya tiene x o y despejada, sustituir evita multiplicaciones. Si ambas despejan fácilmente la misma variable, igualar suele ser breve. En x=2y+1 y x=5−y, iguala 2y+1=5−y; y=4/3 y x=11/3. El resultado fraccionario no indica un error.
La reducción como operación reversible
Se puede sustituir E₂ por E₂+λE₁ conservando E₁, para cualquier λ real: la ecuación antigua se recupera restando λE₁. También se puede multiplicar una ecuación por una constante no nula. Conservar solo la suma y descartar las originales pierde información: queda una sola condición.
Elegir múltiplos y vigilar signos
En 2x+3y=7 y 3x−2y=4, multiplicar la primera por 2 y la segunda por 3 hace opuestos los coeficientes de y: 4x+6y=14 y 9x−6y=12. Sumando, 13x=26. Si restas ecuaciones, el signo menos afecta a todos los términos, incluido el independiente.
Comprobar y comparar eficiencia
Tras hallar una variable, sustitúyela en una ecuación original para recuperar la otra. Comprueba ambas. Un método con menos operaciones reduce oportunidades de error, pero puedes usar otro correcto. Compara la cantidad de fracciones y multiplicaciones, no solo el número de renglones escritos.
Ejemplos resueltos
Sustitución directa
Resuelve x=2y+1 y 3x+y=10.
- Sustituye: 3(2y+1)+y=10.
- 7y=7; y=1. Entonces x=3.
- Comprueba 3=2·1+1 y 3·3+1=10.
Reducción con múltiplos
Resuelve 2x+3y=7 y 3x−2y=4.
- Multiplica por 2 y 3, respectivamente: 4x+6y=14; 9x−6y=12.
- Suma: 13x=26; x=2.
- 2·2+3y=7; y=1. Ambas igualdades originales se cumplen.
Error frecuente: Sumar ecuaciones y usar solo esa suma como si fuera equivalente a todo el sistema.
Reducir sin perder la intersección
Parte de 2x+y=2k+1 y 3x−y=3k−1. Conserva la primera y reemplaza la segunda por su suma con la primera.
Parte de 2x+y=2k+1 y 3x−y=3k−1. Conserva la primera y reemplaza la segunda por su suma con la primera.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Aprovecha que x tiene coeficiente 1. Sistema: x - 2y = -4; 3x + y = 9. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-7)y=-21; y=3.
- Sustituye en x - 2y = -4: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -4 y 9, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Aprovecha que x tiene coeficiente 1. Sistema: x - 2y = -5; 3x + y = 13. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-7)y=-28; y=4.
- Sustituye en x - 2y = -5: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -5 y 13, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Aprovecha que x tiene coeficiente 1. Sistema: x - 2y = -6; 3x + y = 17. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-7)y=-35; y=5.
- Sustituye en x - 2y = -6: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -6 y 17, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Elimina y sumando. Sistema: 2x + y = 4; 3x - y = 11. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -2
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=-10; y=-2.
- Sustituye en 2x + y = 4: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,-2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 4 y 11, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Elimina y sumando. Sistema: 2x + y = 5; 3x - y = 15. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -3
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=-15; y=-3.
- Sustituye en 2x + y = 5: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,-3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 5 y 15, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Elimina y sumando. Sistema: 2x + y = 6; 3x - y = 19. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -4
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=-20; y=-4.
- Sustituye en 2x + y = 6: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,-4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 6 y 19, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Usa múltiplos para eliminar una incógnita. Sistema: 2x + 3y = 17/2; 3x + 2y = 9. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=15/2; y=3/2.
- Sustituye en 2x + 3y = 17/2: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,3/2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 17/2 y 9, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Usa múltiplos para eliminar una incógnita. Sistema: 2x + 3y = 12; 3x + 2y = 13. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=10; y=2.
- Sustituye en 2x + 3y = 12: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 12 y 13, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Usa múltiplos para eliminar una incógnita. Sistema: 2x + 3y = 31/2; 3x + 2y = 17. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (5)y=25/2; y=5/2.
- Sustituye en 2x + 3y = 31/2: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,5/2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 31/2 y 17, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Despeja x en ambas e iguala. Sistema: x - 2y = -10; x - 3y = -14. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=4; y=4.
- Sustituye en x - 2y = -10: x=-2.
- Solución completa: (x,y)=(-2,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -10 y -14, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Despeja x en ambas e iguala. Sistema: x - 2y = -13; x - 3y = -18. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=5; y=5.
- Sustituye en x - 2y = -13: x=-3.
- Solución completa: (x,y)=(-3,5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -13 y -18, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Despeja x en ambas e iguala. Sistema: x - 2y = -16; x - 3y = -22. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=6; y=6.
- Sustituye en x - 2y = -16: x=-4.
- Solución completa: (x,y)=(-4,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -16 y -22, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Escoge un método y justifica por qué conserva todas las soluciones. Sistema: 2x + 3y = -4; 3x + 4y = -5. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=-2; y=-2.
- Sustituye en 2x + 3y = -4: x=1.
- Solución completa: (x,y)=(1,-2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -4 y -5, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Escoge un método y justifica por qué conserva todas las soluciones. Sistema: 3x + 4y = -6; 4x + 5y = -7. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 3; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=-3; y=-3.
- Sustituye en 3x + 4y = -6: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,-3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -6 y -7, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Escoge un método y justifica por qué conserva todas las soluciones. Sistema: 4x + 5y = -8; 5x + 6y = -9. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por 4; resta para eliminar x.
- Queda (1)y=-4; y=-4.
- Sustituye en 4x + 5y = -8: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,-4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale -8 y -9, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
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