Antes de empezar: Ecuaciones de primer grado y coordenadas cartesianas.
Al terminar: Relaciona pares ordenados, rectas verticales y conjuntos solución.
La solución es un par ordenado
Un sistema 2×2 exige satisfacer simultáneamente dos ecuaciones con dos incógnitas. (x,y) es ordenado: intercambiar coordenadas puede cambiar la respuesta. Sustituir en una sola ecuación no basta. Cada ecuación lineal no degenerada representa una recta; la solución del sistema es la intersección de sus conjuntos de puntos.
La forma general incluye rectas verticales
Si b≠0, se puede despejar y=−(a/b)x+c/b. Si b=0 y a≠0, la recta es vertical: x=c/a. No tiene pendiente finita y no se escribe como y=mx+n. Si a=b=0, la igualdad 0=c representa todo el plano cuando c=0 o el conjunto vacío cuando c≠0; no es una recta.
Tres posibilidades, con una precaución
Dos rectas distintas no paralelas se cortan una vez. Dos paralelas distintas no comparten puntos. Dos coincidentes comparten una recta completa: hay infinitos pares, pero no todos los pares del plano. Solo cuando ambas ecuaciones son identidades 0=0 se obtiene todo el plano.
El gráfico aproxima; el álgebra decide
Una cuadrícula puede sugerir un cruce, pero un punto que parece (2,1) podría tener coordenadas fraccionarias cercanas. Verifica las dos igualdades con valores exactos. Una ventana finita puede dejar el cruce fuera de la pantalla; eso no demuestra que las rectas sean paralelas.
Qué significa recorrer una recta solución
Si solo queda x+2y=6, puedes tomar y=t y escribir (x,y)=(6−2t,t), para todo t real. La letra t es un parámetro libre, no una tercera restricción. Prueba dos valores para entender el conjunto, sin confundir esos ejemplos con toda la solución.
Ejemplos resueltos
Vertical y oblicua
Resuelve x=3 y 2x+y=8.
- La primera ecuación fija x=3.
- La segunda da 6+y=8; y=2.
- El par (3,2) satisface las dos ecuaciones.
Infinitas no significa todo
Estudia x+2y=6 y 2x+4y=12.
- La segunda es el doble de la primera.
- La solución es (6−2t,t), t real.
- (0,3) sirve; (0,0) no. El conjunto es una recta, no todo el plano.
Error frecuente: Comprobar un par en una sola ecuación o interpretar una recta vertical como una función y=mx+n.
Dos condiciones en el mismo plano
Cambia coeficientes y observa el conjunto común. También se admiten ecuaciones degeneradas como 0=0.
Cambia coeficientes y observa el conjunto común. También se admiten ecuaciones degeneradas como 0=0.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Dos rectas, una vertical y otra horizontal. Sistema: x = 2; y = 3. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 0 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-3; y=3.
- Sustituye en x = 2: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 2 y 3, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Dos rectas, una vertical y otra horizontal. Sistema: x = 3; y = 4. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 0 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-4; y=4.
- Sustituye en x = 3: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 3 y 4, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Dos rectas, una vertical y otra horizontal. Sistema: x = 4; y = 5. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 0 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1)y=-5; y=5.
- Sustituye en x = 4: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,5). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 4 y 5, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Interpreta el par como un punto común. Sistema: x + y = 5; x - y = 1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=4; y=2.
- Sustituye en x + y = 5: x=3.
- Solución completa: (x,y)=(3,2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 5 y 1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Interpreta el par como un punto común. Sistema: x + y = 7; x - y = 1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=6; y=3.
- Sustituye en x + y = 7: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 7 y 1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Interpreta el par como un punto común. Sistema: x + y = 9; x - y = 1. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=8; y=4.
- Sustituye en x + y = 9: x=5.
- Solución completa: (x,y)=(5,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 9 y 1, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
No redondees las coordenadas. Sistema: 2x + y = 3; x - y = 0. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (3)y=3; y=1.
- Sustituye en 2x + y = 3: x=1.
- Solución completa: (x,y)=(1,1). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 3 y 0, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
No redondees las coordenadas. Sistema: 2x + y = 13/3; x - y = 1/6. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3/2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (3)y=4; y=4/3.
- Sustituye en 2x + y = 13/3: x=3/2.
- Solución completa: (x,y)=(3/2,4/3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 13/3 y 1/6, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
No redondees las coordenadas. Sistema: 2x + y = 17/3; x - y = 1/3. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elige la eliminación o sustitución que simplifique los coeficientes.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (3)y=5; y=5/3.
- Sustituye en 2x + y = 17/3: x=2.
- Solución completa: (x,y)=(2,5/3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 17/3 y 1/3, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Sistema: x - y = 2; 2x - 2y = 5. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Sistema: x - y = 3; 2x - 2y = 7. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Sistema: x - y = 4; 2x - 2y = 9. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- Al eliminar una variable queda una igualdad imposible.
- No existe un par que satisfaga las dos ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Sistema: x + 2y = 2; 3x + 6y = 6. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Sistema: x + 2y = 3; 3x + 6y = 9. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Sistema: x + 2y = 4; 3x + 6y = 12. Clasifica el conjunto solución y justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- Una ecuación es equivalente a la otra o una no añade restricciones.
- Queda una recta de pares solución, no todos los pares del plano.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
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