EATRYL
Secundaria · Preparatoria

La parábola: conectar raíces, vértice y simetría

Lee las formas general, factorizada y de vértice sin confundir sus datos.

Antes de empezar: Coordenadas, funciones y completar el cuadrado.

Al terminar: Lee las formas general, factorizada y de vértice sin confundir sus datos.

Recupera las bases: Coordenadas y representación

Ecuación y función no son lo mismo

f(x)=ax²+bx+c define una función para cada x real. Resolver f(x)=0 busca únicamente las entradas cuyo resultado es cero. La parábola existe aunque no corte el eje x. El punto (0,c) es el corte con el eje y, no necesariamente una raíz ni el vértice.

Forma de vértice

f(x)=a(x−h)2+k,h=−b2a,k=f(h)

La recta x=h es eje de simetría: f(h+u)=f(h−u). Si a>0 el vértice es un mínimo; si a<0 es un máximo. El signo de a indica apertura; su valor absoluto influye en la variación vertical para un mismo desplazamiento horizontal.

Lo que revela cada forma

La forma general muestra el corte c con el eje y. La factorizada a(x−r₁)(x−r₂) muestra raíces reales cuando existen. La de vértice muestra el extremo y la simetría. Son formas de la misma función, no tres funciones distintas. Expandir o completar el cuadrado permite cambiar de una a otra.

Raíces simétricas respecto del eje

Si hay dos raíces reales, su promedio es h. En f(x)=(x−1)(x−5), las raíces son 1 y 5 y el eje es x=3. Allí f(3)=−4, así que el vértice es (3,−4). Si no hay raíces reales, el eje y el vértice siguen existiendo.

Límites de una ventana gráfica

La curva mostrada se calcula sobre una malla finita. Un cruce o vértice fuera de la ventana no desaparece matemáticamente. Las etiquetas de raíces aproximan la posición, mientras que el cálculo del discriminante y las expresiones exactas determinan las soluciones. No estimes una raíz por un píxel cuando puedes calcularla.

Ejemplos resueltos

Tres formas, una función

Describe f(x)=x²−6x+5.

  1. Factorizada: (x−1)(x−5); raíces 1 y 5.
  2. De vértice: (x−3)²−4; vértice (3,−4), mínimo −4.
  3. Corte con y: (0,5); eje x=3.

Máximo sin confundirlo con una raíz

Describe f(x)=−2(x−1)²+8.

  1. Vértice (1,8), apertura hacia abajo; máximo 8.
  2. Para hallar raíces: (x−1)²=4; x=−1 o x=3.
  3. El máximo es un valor de y; las raíces son valores de x.

Error frecuente: Confundir el valor mínimo con la abscisa donde se alcanza o tomar c como vértice.

Predice · Explora · Justifica

Mover y abrir una parábola

Explora f(x)=a(x−h)²+k. El mínimo o máximo es un valor de y, alcanzado en x=h. Si a=0, queda una función constante.

f(x)=1(x−(2))² + (-4)-8-6-4-202468-10-6-2261014Horizontal: x · Vertical: f(x)

Explora f(x)=a(x−h)²+k. El mínimo o máximo es un valor de y, alcanzado en x=h. Si a=0, queda una función constante.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Para f(x)=x²−4x+3, halla la abscisa del vértice.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2

  1. h=−b/(2a)=2.
  2. La forma de vértice es (x−2)²−1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Para f(x)=x²−6x+8, halla la abscisa del vértice.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 3

  1. h=−b/(2a)=3.
  2. La forma de vértice es (x−3)²−1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Para f(x)=x²−8x+15, halla la abscisa del vértice.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 4

  1. h=−b/(2a)=4.
  2. La forma de vértice es (x−4)²−1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

¿Cuál es el valor mínimo de f(x)=2(x−2)²−3?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: -3

  1. El cuadrado es no negativo y el coeficiente 2 es positivo.
  2. El mínimo −3 ocurre en x=2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

¿Cuál es el valor mínimo de f(x)=2(x−3)²−3?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: -3

  1. El cuadrado es no negativo y el coeficiente 2 es positivo.
  2. El mínimo −3 ocurre en x=3.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

¿Cuál es el valor mínimo de f(x)=2(x−4)²−3?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: -3

  1. El cuadrado es no negativo y el coeficiente 2 es positivo.
  2. El mínimo −3 ocurre en x=4.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Ecuación: x² − 4x = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 0 o x = 4

  1. Identifica a=1, b=-4, c=0; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=16.
  3. La fórmula da x=(4±√16)/(2).
  4. x = 0 o x = 4. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Ecuación: x² − 6x + 5 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 1 o x = 5

  1. Identifica a=1, b=-6, c=5; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=16.
  3. La fórmula da x=(6±√16)/(2).
  4. x = 1 o x = 5. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Ecuación: x² − 8x + 12 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 2 o x = 6

  1. Identifica a=1, b=-8, c=12; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=16.
  3. La fórmula da x=(8±√16)/(2).
  4. x = 2 o x = 6. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Para f(x)=−(x−2)²+9, halla su valor máximo.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

  1. El término −(x−2)² es no positivo.
  2. El máximo es 9, alcanzado en x=2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para f(x)=−(x−3)²+9, halla su valor máximo.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

  1. El término −(x−3)² es no positivo.
  2. El máximo es 9, alcanzado en x=3.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Para f(x)=−(x−4)²+9, halla su valor máximo.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

  1. El término −(x−4)² es no positivo.
  2. El máximo es 9, alcanzado en x=4.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Para f(x)=2x²−8x+5, calcula f(4).

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 5

  1. Completa: f(x)=2(x−2)²−3.
  2. En x=4, f=2·2²−3=5.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Para f(x)=2x²−12x+15, calcula f(5).

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 5

  1. Completa: f(x)=2(x−3)²−3.
  2. En x=5, f=2·2²−3=5.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Para f(x)=2x²−16x+29, calcula f(6).

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 5

  1. Completa: f(x)=2(x−4)²−3.
  2. En x=6, f=2·2²−3=5.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

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