Antes de empezar: Métodos de solución, unidades y dominio.
Al terminar: Construye ecuaciones de áreas, números, movimiento y equilibrio de ingresos.
La incógnita necesita un dominio
Antes de calcular, define qué representa x y sus valores posibles. Una longitud suele ser positiva; una cantidad de objetos es entera no negativa; un tiempo de regreso puede exigir t>0. Las raíces de la ecuación son candidatos que todavía deben contrastarse con esas condiciones.
Áreas y productos crean términos cuadrados
Si un ancho es x y el largo x+3, el área es x(x+3). La suma de lados produce una ecuación lineal, pero el producto puede producir una cuadrática. Dibuja las dimensiones y expresa las unidades: un producto de longitudes se mide en unidades cuadradas.
Bordes y caminos: restar dos veces el ancho
Un borde interior de ancho x en un rectángulo W por H deja dimensiones W−2x y H−2x. La ecuación de área central es (W−2x)(H−2x)=A. Además se exige 0<x<min(W,H)/2. Un candidato que hace ambas dimensiones negativas puede producir un área algebraica positiva, pero no un rectángulo físico.
Movimiento con hipótesis explícitas
En h(t)=h₀+v₀t−gt²/2, se supone un eje vertical positivo hacia arriba, aceleración gravitatoria constante y ausencia de resistencia del aire. Elegir h=0 fija un nivel de referencia. El modelo puede tener una raíz negativa que describe una prolongación matemática fuera del intervalo de interés; no debe interpretarse automáticamente como un tiempo físico del experimento.
Validar y comunicar
Sustituye cada candidato en la ecuación, en los datos del enunciado y en el dominio. Explica por qué descartas uno o por qué ambos sirven. No redondees un resultado para forzarlo a ser entero. En modelos de ingresos, especifica que se trata de relaciones idealizadas, no de una predicción comercial sin datos.
Ejemplos resueltos
Área y longitud positiva
Un ancho x y un largo x+3 forman un área de 40 cm².
- x²+3x−40=0=(x−5)(x+8).
- Candidatos 5 y −8; el ancho debe ser positivo.
- Ancho 5 cm y largo 8 cm; 5·8=40 cm².
Una raíz algebraica que no cabe
Un rectángulo de 8 por 10 m deja un centro de 24 m² al añadir un borde interior uniforme.
- (8−2x)(10−2x)=24; 4x²−36x+56=0.
- x²−9x+14=(x−2)(x−7)=0.
- Se exige 0<x<4; solo x=2. El centro mide 4 por 6 m.
Error frecuente: Aceptar cualquier raíz porque satisface la ecuación sin revisar longitudes, tiempos o cantidades admisibles.
Un borde que debe caber
Rectángulo exterior de 8 por 10 m. El control expresa décimas de metro: x=valor/10. Para un borde interior con centro no degenerado se exige 0<x<4.
Rectángulo exterior de 8 por 10 m. El control expresa décimas de metro: x=valor/10. Para un borde interior con centro no degenerado se exige 0<x<4.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un rectángulo tiene ancho x cm, largo x+3 cm y área 10 cm². ¿Cuál es el ancho positivo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- x(x+3)=10.
- (x−2)(x+5)=0.
- Los candidatos son 2 y −5; solo 2 es una longitud positiva.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un rectángulo tiene ancho x cm, largo x+3 cm y área 18 cm². ¿Cuál es el ancho positivo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- x(x+3)=18.
- (x−3)(x+6)=0.
- Los candidatos son 3 y −6; solo 3 es una longitud positiva.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un rectángulo tiene ancho x cm, largo x+3 cm y área 28 cm². ¿Cuál es el ancho positivo?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- x(x+3)=28.
- (x−4)(x+7)=0.
- Los candidatos son 4 y −7; solo 4 es una longitud positiva.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
El producto de dos enteros positivos consecutivos es 6. ¿Cuál es el menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- x(x+1)=6.
- Las raíces son 2 y −3.
- La condición de enteros positivos selecciona 2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
El producto de dos enteros positivos consecutivos es 12. ¿Cuál es el menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- x(x+1)=12.
- Las raíces son 3 y −4.
- La condición de enteros positivos selecciona 3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
El producto de dos enteros positivos consecutivos es 20. ¿Cuál es el menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- x(x+1)=20.
- Las raíces son 4 y −5.
- La condición de enteros positivos selecciona 4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un modelo ideal de altura en metros es h(t)=−5t²+20t, con t en segundos. ¿En qué tiempo positivo vuelve a h=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- −5t(t−4)=0.
- t=0 es el instante inicial; el regreso ocurre en t=4 s.
- El modelo omite resistencia del aire y usa g=10 m/s².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un modelo ideal de altura en metros es h(t)=−5t²+30t, con t en segundos. ¿En qué tiempo positivo vuelve a h=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- −5t(t−6)=0.
- t=0 es el instante inicial; el regreso ocurre en t=6 s.
- El modelo omite resistencia del aire y usa g=10 m/s².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un modelo ideal de altura en metros es h(t)=−5t²+40t, con t en segundos. ¿En qué tiempo positivo vuelve a h=0?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- −5t(t−8)=0.
- t=0 es el instante inicial; el regreso ocurre en t=8 s.
- El modelo omite resistencia del aire y usa g=10 m/s².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rectángulo mide 6 m por 8 m. Un borde interior uniforme de ancho x deja un área central de 8 m². Halla x, con 0<x<3.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- (6−2x)(8−2x)=8.
- Al expandir: 4x²−28x+40=0.
- Las raíces son 2 y 5. Solo 2 deja ambos lados centrales positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rectángulo mide 7 m por 9 m. Un borde interior uniforme de ancho x deja un área central de 15 m². Halla x, con 0<x<7/2.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- (7−2x)(9−2x)=15.
- Al expandir: 4x²−32x+48=0.
- Las raíces son 2 y 6. Solo 2 deja ambos lados centrales positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rectángulo mide 8 m por 10 m. Un borde interior uniforme de ancho x deja un área central de 24 m². Halla x, con 0<x<4.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- (8−2x)(10−2x)=24.
- Al expandir: 4x²−36x+56=0.
- Las raíces son 2 y 7. Solo 2 deja ambos lados centrales positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un ingreso ideal es R(n)=n(20−n) pesos y el costo fijo es 36 pesos. Halla las cantidades n enteras, con 0≤n≤20, donde ingreso y costo coinciden.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: n=2 o n=18
- n(20−n)=36.
- n²−20n+36=0.
- (n−2)(n−18)=0; ambas cantidades son enteras y admisibles.
- Este modelo simplificado no incorpora otros costos ni demanda real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un ingreso ideal es R(n)=n(20−n) pesos y el costo fijo es 51 pesos. Halla las cantidades n enteras, con 0≤n≤20, donde ingreso y costo coinciden.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: n=3 o n=17
- n(20−n)=51.
- n²−20n+51=0.
- (n−3)(n−17)=0; ambas cantidades son enteras y admisibles.
- Este modelo simplificado no incorpora otros costos ni demanda real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un ingreso ideal es R(n)=n(20−n) pesos y el costo fijo es 64 pesos. Halla las cantidades n enteras, con 0≤n≤20, donde ingreso y costo coinciden.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: n=4 o n=16
- n(20−n)=64.
- n²−20n+64=0.
- (n−4)(n−16)=0; ambas cantidades son enteras y admisibles.
- Este modelo simplificado no incorpora otros costos ni demanda real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué una raíz puede ser algebraicamente correcta y aun así no resolver el problema?
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