Antes de empezar: Ecuaciones con paréntesis y fracciones.
Al terminar: Define la incógnita, construye el modelo y valida sus restricciones.
La incógnita necesita significado y unidad
Escribe qué representa x, en qué unidad se mide y qué valores admite. Una longitud debe ser positiva; una cantidad de objetos completos es un entero no negativo. Las edades y los tiempos pueden tener restricciones adicionales según el enunciado. Una solución algebraica puede no ser una solución del problema.
Traducir relaciones, no palabras aisladas
Identifica qué magnitudes son iguales: dos costos, el total de partes o dos formas de medir un perímetro. «El doble de la suma de x y 3» es 2(x+3), mientras que «tres más que el doble de x» es 2x+3. En un porcentaje, declara siempre a qué cantidad se aplica.
Comprobar dimensiones
En C=f+pn, f y C son costos en pesos; p es precio por unidad y n es cantidad de unidades. El producto pn también está en pesos. Sumar 10 pesos a 3 minutos no tiene significado como costo; primero habría que multiplicar los minutos por una tarifa adecuada.
Comparar dos planes
Con A(m)=40+2m y B(m)=10+5m, igualar da m=10 y costo 60. La diferencia A−B=30−3m permite ver que antes del cruce A cuesta más y después cuesta menos, para m≥0. El explorador representa costos para uso continuo; si el servicio cobra minutos enteros, hay que incorporar esa regla. La comparación mediante inecuaciones se desarrollará en el bloque correspondiente.
Revisar hipótesis y límites
Un costo lineal supone tarifa fija por unidad, sin descuentos por tramo ni límites de consumo. Si los datos del enunciado violan el modelo, no redondees una solución para hacerla caber: comprueba si el resultado redondeado satisface los datos originales. Explica la incompatibilidad y qué supuesto habría que revisar.
Ejemplos resueltos
El dinero que queda
Tras gastar un tercio del dinero y 20 pesos quedan 100 pesos.
- Sea x el dinero inicial: (2/3)x−20=100.
- (2/3)x=120; x=180 pesos.
- Se gastan 60 y luego 20; quedan 100.
Un resultado real que no sirve
Una caja de 2 kg contiene piezas de 3 kg y se registra un total de 10 kg.
- 2+3n=10; n=8/3.
- No hay un número entero de piezas completas que produzca ese peso.
- Redondear a 3 piezas daría 11 kg, no 10 kg.
Error frecuente: Aceptar una respuesta negativa, fraccionaria o fuera del dominio sin revisar su significado.
¿Cuándo cuestan lo mismo?
A(m)=40+2m y B(m)=10+5m coinciden a los 10 minutos, con un costo de 60 pesos.
A(m)=40+2m y B(m)=10+5m coinciden a los 10 minutos, con un costo de 60 pesos.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Una tarifa cobra 20 pesos fijos y 2 pesos por unidad. El total es 50 pesos. ¿Cuántas unidades se usaron?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- 20+2n=50.
- 2n=30; n=15.
- El resultado es entero no negativo y produce el total indicado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Una tarifa cobra 30 pesos fijos y 3 pesos por unidad. El total es 75 pesos. ¿Cuántas unidades se usaron?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- 30+3n=75.
- 3n=45; n=15.
- El resultado es entero no negativo y produce el total indicado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Una tarifa cobra 40 pesos fijos y 4 pesos por unidad. El total es 100 pesos. ¿Cuántas unidades se usaron?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- 40+4n=100.
- 4n=60; n=15.
- El resultado es entero no negativo y produce el total indicado.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Un rectángulo tiene ancho x cm y largo x+2 cm. Su perímetro es 20 cm. Calcula el ancho en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 2x+2(x+2)=20.
- 4x=16; x=4.
- El largo es 6; el perímetro es 20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Un rectángulo tiene ancho x cm y largo x+3 cm. Su perímetro es 30 cm. Calcula el ancho en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- 2x+2(x+3)=30.
- 4x=24; x=6.
- El largo es 9; el perímetro es 30.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Un rectángulo tiene ancho x cm y largo x+4 cm. Su perímetro es 40 cm. Calcula el ancho en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- 2x+2(x+4)=40.
- 4x=32; x=8.
- El largo es 12; el perímetro es 40.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Después de gastar 1/4 del dinero y luego 2 pesos quedan 10 pesos. ¿Cuánto había al inicio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
La fracción gastada se refiere a la cantidad inicial.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- Si x es el dinero inicial, (3/4)x−2=10.
- (3/4)x=12; x=16.
- Se gasta 4 y luego 2; quedan 10.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Después de gastar 1/4 del dinero y luego 3 pesos quedan 15 pesos. ¿Cuánto había al inicio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
La fracción gastada se refiere a la cantidad inicial.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 24
- Si x es el dinero inicial, (3/4)x−3=15.
- (3/4)x=18; x=24.
- Se gasta 6 y luego 3; quedan 15.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Después de gastar 1/4 del dinero y luego 4 pesos quedan 20 pesos. ¿Cuánto había al inicio?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
La fracción gastada se refiere a la cantidad inicial.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 32
- Si x es el dinero inicial, (3/4)x−4=20.
- (3/4)x=24; x=32.
- Se gasta 8 y luego 4; quedan 20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Plan A: 20 pesos fijos más 2 pesos/min. Plan B: 8 pesos fijos más 5 pesos/min. ¿A cuántos minutos cuestan igual?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 20+2m=8+5m.
- 12=3m; m=4.
- Ambos cuestan 28 pesos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Plan A: 30 pesos fijos más 2 pesos/min. Plan B: 12 pesos fijos más 5 pesos/min. ¿A cuántos minutos cuestan igual?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- 30+2m=12+5m.
- 18=3m; m=6.
- Ambos cuestan 42 pesos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Plan A: 40 pesos fijos más 2 pesos/min. Plan B: 16 pesos fijos más 5 pesos/min. ¿A cuántos minutos cuestan igual?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- 40+2m=16+5m.
- 24=3m; m=8.
- Ambos cuestan 56 pesos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Una caja vacía pesa 2 kg y cada pieza 3 kg. Se afirma que el peso total es 7 kg. ¿Es posible con piezas completas? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; la cantidad calculada no es entera
- 2+3n=7.
- n=5/3=2−1/3.
- Está entre 1 y 2 y no es entero: no representa piezas completas.
- La ecuación tiene solución real, pero el modelo exige n entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Una caja vacía pesa 3 kg y cada pieza 4 kg. Se afirma que el peso total es 10 kg. ¿Es posible con piezas completas? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; la cantidad calculada no es entera
- 3+4n=10.
- n=7/4=2−1/4.
- Está entre 1 y 2 y no es entero: no representa piezas completas.
- La ecuación tiene solución real, pero el modelo exige n entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Una caja vacía pesa 4 kg y cada pieza 5 kg. Se afirma que el peso total es 13 kg. ¿Es posible con piezas completas? Justifica.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; la cantidad calculada no es entera
- 4+5n=13.
- n=9/5=2−1/5.
- Está entre 1 y 2 y no es entero: no representa piezas completas.
- La ecuación tiene solución real, pero el modelo exige n entero no negativo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
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