EATRYL
Secundaria · Preparatoria

Evaluación: raíces, métodos y aplicaciones

Quince situaciones para reconocer avances y decidir qué repasar.

Resuelve antes de consultar ayuda. Las respuestas numéricas se comprueban automáticamente; las expresiones, clasificaciones y justificaciones requieren comparar con la solución modelo. Una respuesta marcada como revisada no equivale a una evaluación automática de su corrección.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Extrae el factor común; no dividas entre x. Ecuación: x² − 6x = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 0 o x = 6

  1. La expresión equivale a 1(x−(0))(x−(6)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 0 o x = 6.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

¿Qué constante debes sumar a x²+12x para formar un cuadrado perfecto?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 36

  1. La mitad del coeficiente lineal es 6; su cuadrado es 36.
  2. x²+12x+36=(x+6)².

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Ecuación: x² − 8x + 12 = 0. Calcula el discriminante.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 16

  1. Identifica a=1, b=-8, c=12; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=16.
  3. La fórmula da x=(8±√16)/(2).
  4. x = 2 o x = 6. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Ecuación: 6x² − 72x + 216 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 1

  1. Identifica a=6, b=-72, c=216; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=0.
  3. La raíz doble es −b/(2a)=6; el conjunto tiene un solo elemento.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

¿Cuál es el valor mínimo de f(x)=2(x−6)²−3?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: -3

  1. El cuadrado es no negativo y el coeficiente 2 es positivo.
  2. El mínimo −3 ocurre en x=6.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

El producto de dos enteros positivos consecutivos es 42. ¿Cuál es el menor?

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6

  1. x(x+1)=42.
  2. Las raíces son 6 y −7.
  3. La condición de enteros positivos selecciona 6.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Ecuación: x² − 13x + 42 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 6 o x = 7

  1. La expresión equivale a 1(x−(6))(x−(7)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 6 o x = 7.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Ecuación: x² − 12x + 34 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 6 ± √2

  1. Divide toda la ecuación entre 1.
  2. Completa el cuadrado: (x−(6))²=2.
  3. Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
  4. x = 6 ± √2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Ecuación: x² + 6x − 1 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -3 ± √10

  1. Identifica a=1, b=6, c=-1; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=40.
  3. La fórmula da x=(-6±√40)/(2).
  4. x = -3 ± √10. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Clasifica las soluciones reales de x²−12x+t=0 según t real.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: t<36: dos; t=36: una doble; t>36: ninguna

  1. Completa: (x−6)²=36−t.
  2. El lado derecho positivo da dos raíces, cero da una y negativo ninguna.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para f(x)=−(x−6)²+9, halla su valor máximo.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9

  1. El término −(x−6)² es no positivo.
  2. El máximo es 9, alcanzado en x=6.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Un rectángulo mide 10 m por 12 m. Un borde interior uniforme de ancho x deja un área central de 48 m². Halla x, con 0<x<5.

Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.

Una pista

Escribe la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2

  1. (10−2x)(12−2x)=48.
  2. Al expandir: 4x²−44x+72=0.
  3. Las raíces son 2 y 9. Solo 2 deja ambos lados centrales positivos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Ecuación: 6x² − 72x + 216 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = 6

  1. La expresión equivale a 6(x−(6))(x−(6)).
  2. Un producto es cero si uno de sus factores es cero.
  3. x = 6.
  4. Al expandir se recuperan los coeficientes originales; sustituye cada raíz.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Ecuación: x² + 12x + 37 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Sin soluciones reales

  1. Divide toda la ecuación entre 1.
  2. Completa el cuadrado: (x−(-6))²=-1.
  3. El lado derecho es negativo: no hay soluciones reales.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Ecuación: 3x² + 12x − 6 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: x = -2 ± √6

  1. Identifica a=3, b=12, c=-6; a no es cero.
  2. Δ=b²−4ac=216.
  3. La fórmula da x=(-12±√216)/(6).
  4. x = -2 ± √6. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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