Antes de empezar: Cuadrado de un binomio, fracciones y raíces cuadradas.
Al terminar: Deduce una forma que permite resolver incluso con raíces irracionales.
La pieza que falta
El término medio de (x+h)² es 2hx. Por eso, para un coeficiente lineal p, h=p/2 y la pieza que completa el cuadrado es p²/4. En una ecuación debes añadir esa cantidad a los dos miembros; en una identidad debes restarla para no cambiar la expresión.
Un procedimiento que conserva la igualdad
Para x²+6x=7, suma 9 a ambos lados: (x+3)²=16. Si un cuadrado vale 16, su base puede ser 4 o −4: x+3=±4. Por tanto x=1 o x=−7. Escribir solo la raíz positiva pierde una solución.
Cuando a no es uno
En 2x²+4x−3=0, divide toda la ecuación entre 2: x²+2x=3/2. Suma 1: (x+1)²=5/2. Así x=−1±√(5/2)=−1±√10/2. No tomes la mitad del coeficiente lineal antes de normalizar el coeficiente de x².
Un cuadrado puede tener cero, una o dos bases reales
Si (x−h)²=r y r>0, hay dos soluciones h±√r. Si r=0, solo x=h. Si r<0, no hay solución real. Los números complejos amplían el conjunto, pero en este recorrido se pide resolver en los reales y se declara esa condición.
Lo que justifica el dibujo y lo que justifica el álgebra
El modelo divide un término 2px en dos rectángulos de lados x y p y completa una esquina p². Usa longitudes positivas para que las áreas tengan interpretación geométrica. La identidad algebraica sigue siendo válida con valores negativos; esos valores no representan longitudes ordinarias en el dibujo.
Ejemplos resueltos
Raíces irracionales
Resuelve x²−4x−1=0.
- x²−4x=1; suma 4 a ambos lados.
- (x−2)²=5, luego x−2=±√5.
- x=2±√5. Al sustituir, los términos con √5 se cancelan y queda 0.
Sin raíces reales
Resuelve x²+6x+10=0.
- x²+6x=−10; suma 9.
- (x+3)²=−1.
- No existe una base real cuyo cuadrado sea negativo; el conjunto solución real es vacío.
Error frecuente: Sumar la cantidad que falta en un solo miembro o olvidar el signo ±.
La esquina que completa el cuadrado
Resuelve x²+2px=q completando (x+p)²=q+p². El esquema de áreas ilustra la identidad con x positivo; no representa necesariamente una raíz.
Resuelve x²+2px=q completando (x+p)²=q+p². El esquema de áreas ilustra la identidad con x positivo; no representa necesariamente una raíz.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
¿Qué constante debes sumar a x²+4x para formar un cuadrado perfecto?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La mitad del coeficiente lineal es 2; su cuadrado es 4.
- x²+4x+4=(x+2)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
¿Qué constante debes sumar a x²+6x para formar un cuadrado perfecto?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- La mitad del coeficiente lineal es 3; su cuadrado es 9.
- x²+6x+9=(x+3)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
¿Qué constante debes sumar a x²+8x para formar un cuadrado perfecto?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- La mitad del coeficiente lineal es 4; su cuadrado es 16.
- x²+8x+16=(x+4)².
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Ecuación: x² + 4x + 3 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = -3 o x = -1
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-2))²=1.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = -3 o x = -1.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Ecuación: x² + 6x + 8 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = -4 o x = -2
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-3))²=1.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = -4 o x = -2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Ecuación: x² + 8x + 15 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = -5 o x = -3
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-4))²=1.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = -5 o x = -3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Ecuación: x² − 4x + 2 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = 2 ± √2
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(2))²=2.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = 2 ± √2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Ecuación: x² − 6x + 7 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = 3 ± √2
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(3))²=2.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = 3 ± √2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Ecuación: x² − 8x + 14 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = 4 ± √2
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(4))²=2.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = 4 ± √2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Ecuación: 2x² + 4x − 2 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = -1 ± √2
- Divide toda la ecuación entre 2.
- Completa el cuadrado: (x−(-1))²=2.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = -1 ± √2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Ecuación: 2x² + 6x − 3 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = (-3 ± √15)/2
- Divide toda la ecuación entre 2.
- Completa el cuadrado: (x−(-3/2))²=15/4.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = (-3 ± √15)/2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Ecuación: 2x² + 8x − 4 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: x = -2 ± √6
- Divide toda la ecuación entre 2.
- Completa el cuadrado: (x−(-2))²=6.
- Toma las dos posibilidades de signo de la raíz cuadrada.
- x = -2 ± √6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Ecuación: x² + 4x + 5 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sin soluciones reales
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-2))²=-1.
- El lado derecho es negativo: no hay soluciones reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Ecuación: x² + 6x + 10 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sin soluciones reales
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-3))²=-1.
- El lado derecho es negativo: no hay soluciones reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Ecuación: x² + 8x + 17 = 0. Encuentra todas las soluciones reales exactas.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Sin soluciones reales
- Divide toda la ecuación entre 1.
- Completa el cuadrado: (x−(-4))²=-1.
- El lado derecho es negativo: no hay soluciones reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué √(u²)=|u| y no siempre u? Relaciónalo con la necesidad de dos signos.
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