Cuadrado de un binomio y trinomio cuadrado perfecto

Relaciona la forma desarrollada y la factorizada con una justificación.
Comprueba por multiplicación y distingue identidades de ejemplos numéricos.

Antes de empezar: Distributiva, signos, potencias y términos semejantes de la unidad de expresiones algebraicas.

Un cuadrado es un producto repetido

${(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3)$ . Multiplica los cuatro productos: $x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$ . No es $x^{2} + 9$ : faltan las dos contribuciones cruzadas.

El cuadrado y sus cuatro regiones

Un cuadrado de lado $x + a$ , con x y a positivos, se divide en un cuadrado de área $x^{2}$ , dos rectángulos de área ax y otro cuadrado de área $a^{2}$ . Por eso ${(x + a)}^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}$ . Cambia a en el modelo y predice antes de revelar las regiones.

Cuadrado de una diferencia

Al desarrollar $(x - 4) (x - 4)$ , los productos cruzados son $- 4 x$ y $- 4 x$ ; el último producto es positivo. Así, ${(x - 4)}^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ . El signo central es negativo y el término constante sigue siendo positivo.

Una base puede ser una expresión

En ${(2 x + 3)}^{2}$ , el primer término al cuadrado es $4 x^{2}$ , el doble producto es $12 x$ y el último cuadrado es 9. El resultado es $4 x^{2} + 12 x + 9$ . El 2 también se eleva al cuadrado; no se obtiene $2 x^{2}$ .

Volver del trinomio al cuadrado

Para $x^{2} + 10 x + 25$ , los extremos son los cuadrados de x y 5; el medio es $2 (x) (5) = 10 x$ . Por tanto, $x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2}$ . Comprobar el medio es indispensable: $x^{2} + 8 x + 25$ no es ese cuadrado perfecto.

Aplicar y justificar

$98^{2} = {(100 - 2)}^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$ . El patrón evita multiplicar 98 por 98 directamente. La expansión demuestra la identidad; probar un solo número puede detectar un error, pero no demuestra que dos expresiones coincidan para todo valor.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar, termina las operaciones. Cuando se pida factorizar, presenta el producto completo indicado: repetir el polinomio no cumple la consigna.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

Explícalo con tus palabras

Explica por qué funciona el patrón de esta lección y escribe un error frecuente con su corrección.

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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