Antes de empezar: Fórmula general y conjuntos solución.
Al terminar: Clasifica sin resolver completamente y distingue los casos que dejan de ser cuadráticos.
El signo que decide la cantidad
Con a≠0: si Δ>0 hay dos raíces reales distintas; si Δ=0 hay una raíz real doble; si Δ<0 no hay raíces reales. La palabra «reales» importa: un discriminante negativo no significa que no existan soluciones en conjuntos más amplios.
Racionales frente a irracionales
Con coeficientes enteros y Δ≥0, si Δ es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales. Si no es un cuadrado perfecto, son irracionales. Una raíz racional no tiene que ser entera. La clasificación por el signo indica cantidad; la de cuadrado perfecto indica naturaleza aritmética.
Una familia que atraviesa los tres casos
En x²−4x+t=0, Δ=16−4t. Para t<4 hay dos raíces, para t=4 una doble y para t>4 ninguna real. Completar el cuadrado da (x−2)²=4−t y permite ver la misma clasificación. En el gráfico, mover la constante desplaza la parábola verticalmente hasta tocar o dejar de cortar el eje x.
Antes del discriminante, revisa a
En (t−2)x²+x−1=0, t=2 da x−1=0: es lineal y tiene solución x=1. Para t≠2 se puede estudiar como cuadrática, con Δ=4t−7. Por tanto t<7/4 no da raíces reales; t=7/4 da una doble; t>7/4 con t≠2 da dos. El valor t=2 se trata aparte.
Raíz doble y multiplicidad
Si Δ=0, f(x)=a(x−h)² y la gráfica toca el eje x en h sin cruzarlo. El factor (x−h) aparece dos veces, de ahí la multiplicidad dos. El conjunto solución contiene h una sola vez. No confundas cantidad de valores distintos con multiplicidad.
Ejemplos resueltos
Clasificar sin hallar raíces
Clasifica 5x²+2x+1=0.
- Δ=2²−4·5·1=−16.
- Como a=5≠0 y Δ<0, no hay soluciones reales.
- No hace falta aproximar una raíz cuadrada de un número negativo en los reales.
Parámetro en la constante
Clasifica x²−6x+t=0.
- (x−3)²=9−t.
- t<9: dos raíces; t=9: x=3 doble; t>9: ninguna real.
- Comprueba t=8,9,10 como ejemplos de las tres posibilidades.
Error frecuente: Usar la clasificación cuadrática cuando a=0 o afirmar que Δ=0 significa x=0.
Dos cruces, uno o ninguno
Familia x²−2hx+t=0. Las raíces se unen cuando t=h²; después no hay cruces reales.
Familia x²−2hx+t=0. Las raíces se unen cuando t=h²; después no hay cruces reales.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Ecuación: x² − 4x + 3 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Identifica a=1, b=-4, c=3; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=4.
- La fórmula da x=(4±√4)/(2).
- x = 1 o x = 3. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Ecuación: x² − 6x + 8 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Identifica a=1, b=-6, c=8; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=4.
- La fórmula da x=(6±√4)/(2).
- x = 2 o x = 4. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Ecuación: x² − 8x + 15 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Identifica a=1, b=-8, c=15; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=4.
- La fórmula da x=(8±√4)/(2).
- x = 3 o x = 5. Comprueba ambas raíces en la ecuación original.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Ecuación: 2x² − 8x + 8 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- Identifica a=2, b=-8, c=8; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=0.
- La raíz doble es −b/(2a)=2; el conjunto tiene un solo elemento.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Ecuación: 3x² − 18x + 27 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- Identifica a=3, b=-18, c=27; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=0.
- La raíz doble es −b/(2a)=3; el conjunto tiene un solo elemento.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Ecuación: 4x² − 32x + 64 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- Identifica a=4, b=-32, c=64; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=0.
- La raíz doble es −b/(2a)=4; el conjunto tiene un solo elemento.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Ecuación: x² + 4x + 5 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- Identifica a=1, b=4, c=5; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=-4.
- Un cuadrado real no puede ser negativo: no hay raíces reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Ecuación: x² + 6x + 10 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- Identifica a=1, b=6, c=10; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=-4.
- Un cuadrado real no puede ser negativo: no hay raíces reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Ecuación: x² + 8x + 17 = 0. ¿Cuántas soluciones reales distintas tiene?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Trabaja con valores exactos y declara el conjunto en que resuelves.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 0
- Identifica a=1, b=8, c=17; a no es cero.
- Δ=b²−4ac=-4.
- Un cuadrado real no puede ser negativo: no hay raíces reales.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Clasifica las soluciones reales de x²−4x+t=0 según t real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t<4: dos; t=4: una doble; t>4: ninguna
- Completa: (x−2)²=4−t.
- El lado derecho positivo da dos raíces, cero da una y negativo ninguna.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Clasifica las soluciones reales de x²−6x+t=0 según t real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t<9: dos; t=9: una doble; t>9: ninguna
- Completa: (x−3)²=9−t.
- El lado derecho positivo da dos raíces, cero da una y negativo ninguna.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Clasifica las soluciones reales de x²−8x+t=0 según t real.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: t<16: dos; t=16: una doble; t>16: ninguna
- Completa: (x−4)²=16−t.
- El lado derecho positivo da dos raíces, cero da una y negativo ninguna.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Estudia (t−2)x²+x−1=0 cuando t=2. ¿Cuál es la solución?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- El coeficiente cuadrático se anula.
- Queda x−1=0, una ecuación lineal: x=1.
- No se puede aplicar la fórmula cuadrática con a=0.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Estudia (t−3)x²+x−1=0 cuando t=3. ¿Cuál es la solución?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- El coeficiente cuadrático se anula.
- Queda x−1=0, una ecuación lineal: x=1.
- No se puede aplicar la fórmula cuadrática con a=0.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Estudia (t−4)x²+x−1=0 cuando t=4. ¿Cuál es la solución?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1
- El coeficiente cuadrático se anula.
- Queda x−1=0, una ecuación lineal: x=1.
- No se puede aplicar la fórmula cuadrática con a=0.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Puede una ecuación tener discriminante cero y raíz distinta de cero? Construye un ejemplo.
Trabaja este tema con un profesor
Consulta disponibilidad y costo de clases en línea para reforzar lo que necesitas.
Consultar una clase