Recta y circunferencia: resolver todos los puntos comunes

Antes de empezar: Sistemas por sustitución, teorema de Pitágoras, cuadráticas y discriminante.

Al terminar: Reduce un sistema a una cuadrática, reconstruye pares ordenados y distingue corte, tangencia y ausencia de soluciones.

Recupera las bases: Sistemas no lineales · Discriminante

Una ecuación representa una circunferencia

Un punto (x,y) está a distancia r del origen cuando el cuadrado de esa distancia es $r^{2}$ . Por Pitágoras, la condición es $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . La igualdad describe solo la circunferencia; no su interior. Con centro (h,k), resta las coordenadas del centro antes de elevar al cuadrado. El radio se supone positivo.

{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}

Una solución debe cumplir las dos ecuaciones

La recta impone otra relación entre las coordenadas. Sustituye su expresión de y en la circunferencia, resuelve la cuadrática y reconstruye la ordenada de cada raíz. La respuesta es un conjunto de pares, no una lista de abscisas. La sustitución es equivalente porque conserva la ecuación usada para recuperar y.

x^{2} + {(m x + b)}^{2} = r^{2}

El discriminante cuenta puntos distintos

El coeficiente de $x^{2}$ tras sustituir es $1 + m^{2},$ siempre positivo en los reales. Un discriminante positivo da dos puntos; cero, un punto de tangencia; negativo, ninguno. La raíz doble no crea dos puntos diferentes. Una recta vertical $x = c$ no tiene forma $y =$ mx+b: sustitúyela directamente y resuelve para y.

Un ejemplo completo

Para $x^{2} + y^{2} = 25 e y = x + 1,$ sustituir produce $2 x^{2} + 2 x - 24 = 0$ . Divide entre 2 y factoriza $: (x - 3) (x + 4) = 0$ . De $x = 3$ sale $y = 4$ ; de $x = - 4$ sale $y = - 3$ . Los pares (3,4) y (−4,−3) satisfacen ambas ecuaciones. Los pares cruzados (3,−3) y (−4,4) no son soluciones del sistema.

S = {(3, 4), (- 4, - 3)}

El contexto puede reducir el conjunto

Si además se exige $x > 0 e y > 0,$ conserva solo los puntos del primer cuadrante abierto. Ese filtro es una condición adicional, no una modificación de las raíces de la cuadrática. Mantén los radicales exactos cuando aparezcan: la gráfica aproxima ubicaciones y no sustituye la comprobación algebraica.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Resuelve el sistema $x^{2} + y^{2} = 5, y = 1$ . Entrega todos los pares ordenados reales.

Sustituye $y = 1 : x^{2} = 5 - 1 = 4$ .
Hay dos valores de x: −2 y 2. En ambos casos $y = 1$ .
Los pares son [(-2, 1), (2, 1)]. Sustituir cada uno recupera 5 y la ordenada exigida.

Ejemplo resuelto 2

Para $x^{2} + y^{2} = 2,$ clasifica las intersecciones con cada recta $: x + y = 0, x + y = 2$ y $x + y = 3$ . Encuentra también el punto de tangencia.

Para una recta $x + y = c,$ sustituye $y = c - x$ y obtén $2 x^{2} - 2 c x + c^{2} - 2 = 0$ .
El discriminante es $4 (2 \cdot 2 - c^{2})$ . Es positivo para $c = 0,$ cero para $c = 2$ y negativo para $c = 3$ .
En el caso doble $, x = \frac{c}{2} = 1 e y = 1$ . La raíz doble representa un punto, no dos.

Ejemplo resuelto 3

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 5, y = x + 1,$ con $x > 0 e y > 0$ .

Sustituye $y = x + 1$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 1 x - 2 = 0$ .
Factoriza $(x - 1) (x + 2) = 0$ . Las abscisas son 1 y −2.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-2, -1), (1, 2)].
Las restricciones eliminan (−2, −1). Solo (1, 2) pertenece al primer cuadrante abierto.

Error frecuente: Entregar solo valores de x, cruzar coordenadas o contar una raíz doble como dos puntos.

Predice · Explora · Comprueba

Explorador del sistema

Mueve la recta horizontal y predice si aparecen dos puntos, uno o ninguno. El radio permanece en 5.

x^{2} + y^{2} = 25

y = h

Con $h = 3,$ al sustituir queda $x^{2} = 16$ .

Dos soluciones: (−4, 3) y (4, 3).

Menta: circunferencia. Naranja: recta y puntos comunes. Las coordenadas se conservan exactas en el texto; el dibujo aproxima raíces irracionales. Los controles exploran alturas enteras, aunque la teoría admite alturas reales.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Comprueba si el par (2, 3) satisface simultáneamente $x^{2} + y^{2} = 13 e y = x + 1$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Sí, satisface las dos ecuaciones.

En la circunferencia $, 2^{2} + 3^{2} = 13$ .
En la recta $, 3 = 2 + 1$ . Ambas igualdades son verdaderas: el par pertenece al sistema.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Comprueba si el par (3, 4) satisface simultáneamente $x^{2} + y^{2} = 25 e y = x + 1$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Sí, satisface las dos ecuaciones.

En la circunferencia $, 3^{2} + 4^{2} = 25$ .
En la recta $, 4 = 3 + 1$ . Ambas igualdades son verdaderas: el par pertenece al sistema.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Comprueba si el par (4, 5) satisface simultáneamente $x^{2} + y^{2} = 41 e y = x + 1$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Sí, satisface las dos ecuaciones.

En la circunferencia $, 4^{2} + 5^{2} = 41$ .
En la recta $, 5 = 4 + 1$ . Ambas igualdades son verdaderas: el par pertenece al sistema.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve el sistema $x^{2} + y^{2} = 13, y = 2$ . Entrega todos los pares ordenados reales.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-3, 2), (3, 2)}

Sustituye $y = 2 : x^{2} = 13 - 4 = 9$ .
Hay dos valores de x: −3 y 3. En ambos casos $y = 2$ .
Los pares son [(-3, 2), (3, 2)]. Sustituir cada uno recupera 13 y la ordenada exigida.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve el sistema $x^{2} + y^{2} = 25, y = 3$ . Entrega todos los pares ordenados reales.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-4, 3), (4, 3)}

Sustituye $y = 3 : x^{2} = 25 - 9 = 16$ .
Hay dos valores de x: −4 y 4. En ambos casos $y = 3$ .
Los pares son [(-4, 3), (4, 3)]. Sustituir cada uno recupera 25 y la ordenada exigida.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve el sistema $x^{2} + y^{2} = 41, y = 4$ . Entrega todos los pares ordenados reales.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-5, 4), (5, 4)}

Sustituye $y = 4 : x^{2} = 41 - 16 = 25$ .
Hay dos valores de x: −5 y 5. En ambos casos $y = 4$ .
Los pares son [(-5, 4), (5, 4)]. Sustituir cada uno recupera 41 y la ordenada exigida.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 20, y = x + 2$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-4, -2), (2, 4)}

Sustituye $y = x + 2$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .
Factoriza $(x - 2) (x + 4) = 0$ . Las abscisas son 2 y −4.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-4, -2), (2, 4)].
Ambos satisfacen las dos ecuaciones; no mezcles las coordenadas de candidatos distintos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 45, y = x + 3$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-6, -3), (3, 6)}

Sustituye $y = x + 3$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ .
Factoriza $(x - 3) (x + 6) = 0$ . Las abscisas son 3 y −6.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-6, -3), (3, 6)].
Ambos satisfacen las dos ecuaciones; no mezcles las coordenadas de candidatos distintos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 80, y = x + 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-8, -4), (4, 8)}

Sustituye $y = x + 4$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 4 x - 32 = 0$ .
Factoriza $(x - 4) (x + 8) = 0$ . Las abscisas son 4 y −8.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-8, -4), (4, 8)].
Ambos satisfacen las dos ecuaciones; no mezcles las coordenadas de candidatos distintos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Para $x^{2} + y^{2} = 8,$ clasifica las intersecciones con cada recta $: x + y = 0, x + y = 4$ y $x + y = 6$ . Encuentra también el punto de tangencia.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Dos, una y ninguna, respectivamente. Tangencia en (2, 2).

Para una recta $x + y = c,$ sustituye $y = c - x$ y obtén $2 x^{2} - 2 c x + c^{2} - 8 = 0$ .
El discriminante es $4 (2 \cdot 8 - c^{2})$ . Es positivo para $c = 0,$ cero para $c = 4$ y negativo para $c = 6$ .
En el caso doble $, x = \frac{c}{2} = 2 e y = 2$ . La raíz doble representa un punto, no dos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Para $x^{2} + y^{2} = 18,$ clasifica las intersecciones con cada recta $: x + y = 0, x + y = 6$ y $x + y = 9$ . Encuentra también el punto de tangencia.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Dos, una y ninguna, respectivamente. Tangencia en (3, 3).

Para una recta $x + y = c,$ sustituye $y = c - x$ y obtén $2 x^{2} - 2 c x + c^{2} - 18 = 0$ .
El discriminante es $4 (2 \cdot 18 - c^{2})$ . Es positivo para $c = 0,$ cero para $c = 6$ y negativo para $c = 9$ .
En el caso doble $, x = \frac{c}{2} = 3 e y = 3$ . La raíz doble representa un punto, no dos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Para $x^{2} + y^{2} = 32,$ clasifica las intersecciones con cada recta $: x + y = 0, x + y = 8$ y $x + y = 12$ . Encuentra también el punto de tangencia.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Dos, una y ninguna, respectivamente. Tangencia en (4, 4).

Para una recta $x + y = c,$ sustituye $y = c - x$ y obtén $2 x^{2} - 2 c x + c^{2} - 32 = 0$ .
El discriminante es $4 (2 \cdot 32 - c^{2})$ . Es positivo para $c = 0,$ cero para $c = 8$ y negativo para $c = 12$ .
En el caso doble $, x = \frac{c}{2} = 4 e y = 4$ . La raíz doble representa un punto, no dos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 20, y = x + 2,$ con $x > 0 e y > 0$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(2, 4)}

Sustituye $y = x + 2$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .
Factoriza $(x - 2) (x + 4) = 0$ . Las abscisas son 2 y −4.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-4, -2), (2, 4)].
Las restricciones eliminan (−4, −2). Solo (2, 4) pertenece al primer cuadrante abierto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 45, y = x + 3,$ con $x > 0 e y > 0$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(3, 6)}

Sustituye $y = x + 3$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ .
Factoriza $(x - 3) (x + 6) = 0$ . Las abscisas son 3 y −6.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-6, -3), (3, 6)].
Las restricciones eliminan (−6, −3). Solo (3, 6) pertenece al primer cuadrante abierto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve $x^{2} + y^{2} = 80, y = x + 4,$ con $x > 0 e y > 0$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva todas las condiciones. Sustituye cada par en las relaciones originales y distingue frontera de interior.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(4, 8)}

Sustituye $y = x + 4$ ; al desarrollar y dividir entre 2 queda $x^{2} + 4 x - 32 = 0$ .
Factoriza $(x - 4) (x + 8) = 0$ . Las abscisas son 4 y −8.
Reconstruye y con la recta: los candidatos son [(-8, -4), (4, 8)].
Las restricciones eliminan (−8, −4). Solo (4, 8) pertenece al primer cuadrante abierto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué no puedes usar directamente $y =$ mx+b para una recta vertical? Describe el procedimiento alternativo.

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Conceptos a mano

Discriminante

En una cuadrática ax²+bx+c=0, con a distinto de cero, es b²−4ac. Su signo distingue dos, una o ninguna raíz real distinta.