Sistemas no lineales: rectas, parábolas y productos

Antes de empezar: Sustitución en sistemas, ecuaciones cuadráticas y discriminante.

Al terminar: Reduce un sistema a una cuadrática y reconstruye todos los pares ordenados.

Recupera las bases: Sustitución en sistemas · Discriminante

La solución es un par que cumple todo

En un sistema con dos variables, una solución es un par ordenado (x,y) que satisface ambas ecuaciones simultáneamente. Hallar los valores de x es un paso intermedio. Dos raíces de una cuadrática no se pueden mezclar con las ordenadas de otros candidatos.

Igualar y reducir

Si $y = x^{2}$ y $y =$ mx+b, iguala $x^{2} =$ mx+b. Resuelve $x^{2} -$ mx $- b = 0$ y calcula cada y usando una ecuación original. La sustitución conserva las soluciones porque ambas fórmulas de y deben coincidir.

x^{2} - m x - b = 0, Δ = m^{2} + 4 b

Secante, tangente o sin puntos comunes

Si $Δ > 0$ hay dos raíces reales distintas y dos intersecciones. Si $Δ = 0$ hay una raíz doble y una sola intersección: la recta es tangente. Si $Δ < 0$ no hay intersecciones reales. Esta clasificación corresponde a la parábola $y = x^{2}$ y una recta no vertical $y =$ mx+b; una recta vertical $x = c$ se trata sustituyendo x directamente.

Suma y producto: otro sistema que se reduce

Si $x + y = s$ y $x y = p,$ despeja $y = s - x$ . Entonces $x (s - x) = p, o x^{2} -$ sx $+ p = 0$ . Cada raíz x determina $y = s - x$ . Las condiciones físicas se agregan después: para lados de un rectángulo se necesita $x > 0 e y > 0$ . Los pares intercambiados pueden describir una misma figura con diferentes etiquetas.

x^{2} - s x + p = 0

Comprobar antes de interpretar

Sustituye cada par en ambas ecuaciones. Después aplica las condiciones del contexto, como longitudes positivas o cantidades enteras. En problemas de área y perímetro, indica unidades: xy tiene unidades de área y x+y de longitud. Si hay dos pares que intercambian ancho y largo, aclara si representan dos objetos o una misma configuración.

Ejemplos resueltos

Dos intersecciones

$y = x^{2}, y = x + 2$

$x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0; x = 2$ o −1.
Con $y = x^{2},$ los pares son (2,4) y (−1,1).
En la recta $: 4 = 2 + 2$ y $1 = - 1 + 2$ .

Una tangencia

$y = x^{2}, y = 4 x - 4$

$x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} = 0$ .
$x = 2, y = 4$ .
$S = {(2, 4)}; Δ = 0$ y hay un solo punto común.

Lados de un rectángulo

Perímetro 14 m y área $12 m^{2}$

$2 (x + y) = 14,$ de modo que $x + y = 7$ y $x y = 12$ .
$x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4) = 0$ .
Pares (3,4) y (4,3), ambos positivos: un rectángulo de lados 3 m y 4 m.

Error frecuente: Entregar solo las abscisas o interpretar una raíz doble como dos puntos diferentes.

Predice · Experimenta · Explica

Una recta frente a una parábola

La parábola menta es $y = x^{2}$ y la recta violeta es $y =$ mx+b. Los puntos blancos cumplen las dos ecuaciones a la vez.

y = x^{2}; y = 1 x + 2; Δ = 9

Dos intersecciones. Abscisas exactas $: \frac{1 \pm 3}{2}; y = x^{2}$ . Pares aproximados: (−1, 1) y (2, 4).

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-2, 4), (2, 4)}

Iguala los dos valores de $y : x^{2} = 4$ .
$x = - 2$ o $x = 2$ .
En ambos casos $y = 4$ ; escribe dos pares ordenados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 9$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-3, 9), (3, 9)}

Iguala los dos valores de $y : x^{2} = 9$ .
$x = - 3$ o $x = 3$ .
En ambos casos $y = 9$ ; escribe dos pares ordenados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 16$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-4, 16), (4, 16)}

Iguala los dos valores de $y : x^{2} = 16$ .
$x = - 4$ o $x = 4$ .
En ambos casos $y = 16$ ; escribe dos pares ordenados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = x + 6$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-2, 4), (3, 9)}

Iguala $: x^{2} = x + 6$ ; lleva todo al mismo lado.
$x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3) = 0$ .
Las abscisas son −2 y 3; usa $y = x^{2}$ para obtener cada ordenada.
Sustituye cada par en ambas ecuaciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = x + 12$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-3, 9), (4, 16)}

Iguala $: x^{2} = x + 12$ ; lleva todo al mismo lado.
$x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4) = 0$ .
Las abscisas son −3 y 4; usa $y = x^{2}$ para obtener cada ordenada.
Sustituye cada par en ambas ecuaciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = x + 20$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(-4, 16), (5, 25)}

Iguala $: x^{2} = x + 20$ ; lleva todo al mismo lado.
$x^{2} - x - 20 = (x + 4) (x - 5) = 0$ .
Las abscisas son −4 y 5; usa $y = x^{2}$ para obtener cada ordenada.
Sustituye cada par en ambas ecuaciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 4 x - 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(2, 4)}

$x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} = 0$ .
La única abscisa es $x = 2; y = 4$ .
La recta es tangente: una raíz doble representa un solo punto de intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 6 x - 9$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(3, 9)}

$x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2} = 0$ .
La única abscisa es $x = 3; y = 9$ .
La recta es tangente: una raíz doble representa un solo punto de intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 8 x - 16$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(4, 16)}

$x^{2} - 8 x + 16 = {(x - 4)}^{2} = 0$ .
La única abscisa es $x = 4; y = 16$ .
La recta es tangente: una raíz doble representa un solo punto de intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 4 x - 5$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Iguala y completa el cuadrado $: {(x - 2)}^{2} + 1 = 0$ .
Un cuadrado real no puede valer −1.
No hay abscisas reales ni puntos comunes $. S = \emptyset$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 6 x - 10$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Iguala y completa el cuadrado $: {(x - 3)}^{2} + 1 = 0$ .
Un cuadrado real no puede valer −1.
No hay abscisas reales ni puntos comunes $. S = \emptyset$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve el sistema $y = x^{2}, y = 8 x - 17$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

Iguala y completa el cuadrado $: {(x - 4)}^{2} + 1 = 0$ .
Un cuadrado real no puede valer −1.
No hay abscisas reales ni puntos comunes $. S = \emptyset$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve $x + y = 5, x y = 6$ . Después interpreta x e y como lados positivos de un rectángulo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(2, 3), (3, 2)}

Despeja $y = 5 - x$ y sustituye en $x y = 6$ .
$x (5 - x) = 6$ lleva $a x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ .
Obtienes los pares (2, 3) y (3, 2).
Ambos son positivos. Describen el mismo tamaño de rectángulo con las etiquetas de los lados intercambiadas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve $x + y = 7, x y = 12$ . Después interpreta x e y como lados positivos de un rectángulo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(3, 4), (4, 3)}

Despeja $y = 7 - x$ y sustituye en $x y = 12$ .
$x (7 - x) = 12$ lleva $a x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4) = 0$ .
Obtienes los pares (3, 4) y (4, 3).
Ambos son positivos. Describen el mismo tamaño de rectángulo con las etiquetas de los lados intercambiadas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve $x + y = 9, x y = 20$ . Después interpreta x e y como lados positivos de un rectángulo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica la estructura, conserva las condiciones de la sustitución y comprueba en el enunciado original.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {(4, 5), (5, 4)}

Despeja $y = 9 - x$ y sustituye en $x y = 20$ .
$x (9 - x) = 20$ lleva $a x^{2} - 9 x + 20 = (x - 4) (x - 5) = 0$ .
Obtienes los pares (4, 5) y (5, 4).
Ambos son positivos. Describen el mismo tamaño de rectángulo con las etiquetas de los lados intercambiadas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Puede un sistema no lineal tener dos soluciones aunque uno lineal de dos ecuaciones no las tenga? Explica la diferencia mediante intersecciones.

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