Evaluación: factores, sustituciones y sistemas

Respuesta modelo: {−6, 0, 6}

1. Extrae $x:x\left(x^2-36\right)=0$.
2. Diferencia de cuadrados$:x\left(x-6\right)\left(x+6\right)=0$.
3. Cada factor puede ser cero$:x=-6,0$ o 6. No dividas por x: perderías el cero.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−6, 0, 6}

1. Usa $t=x^2,$ con $t\ge 0$.
2. $t^2-36t=t\left(t-36\right)=0:t=0$ o 36.
3. Regresa $ax:x^2=0$ da $x=0;x^2=36$ da $x=\pm 6$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(-6, 36), (6, 36)}

1. Iguala los dos valores de $y:x^2=36$.
2. $x=-6$ o $x=6$.
3. En ambos casos $y=36$; escribe dos pares ordenados.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−1, 6, 7}

1. Prueba $x=6$: el resto es $P\left(6\right)=0$.
2. Divide por x−6 con Ruffini. El cociente es $x^2-6x-7$.
3. Factoriza el cociente: (x−7)(x+1).
4. El producto completo tiene ceros −1, 6 y 7; comprueba mediante expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−7, −6, 6, 7}

1. Sustituye $t=x^2\ge 0$.
2. Factoriza$:\left(t-36\right)\left(t-49\right)=0$.
3. Los dos valores de t son positivos. Cada uno da dos $x:\pm 6y\pm 7$.
4. Son cuatro soluciones distintas; no confundas t con x.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(-6, 36), (7, 49)}

1. Iguala$:x^2=x+42$; lleva todo al mismo lado.
2. $x^2-x-42=\left(x+6\right)\left(x-7\right)=0$.
3. Las abscisas son −6 y 7; usa $y=x^2$ para obtener cada ordenada.
4. Sustituye cada par en ambas ecuaciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−1, 6}

1. $P\left(6\right)=0,$ así que x−6 es factor.
2. El cociente es $x^2-5x-6,$ que todavía contiene x−6.
3. $P\left(x\right)={\left(x-6\right)}^2\left(x+1\right)$.
4. Las soluciones distintas son −1 y 6. La raíz 6 tiene multiplicidad 2, pero se escribe una sola vez en el conjunto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{-\sqrt{6},\sqrt{6}\}$

1. Sea $t=x^2\ge 0$.
2. $t^2+\left(-5\right)t-6=\left(t-6\right)\left(t+1\right)=0$.
3. $t=-1$ es imposible para x real$;t=6$ sí se admite.
4. Las soluciones son $x=\pm \sqrt{6}$. Comprueba que $x^2=6$; conserva la forma exacta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, 36)}

1. $x^2-12x+36={\left(x-6\right)}^2=0$.
2. La única abscisa es $x=6;y=36$.
3. La recta es tangente: una raíz doble representa un solo punto de intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{-1,\frac{1}{2},6\}$

1. Por el teorema de la raíz racional también hay que probar fracciones: el coeficiente principal es 2.
2. $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$; dividir por $x-\frac{1}{2}$ da $2x^2-10x-12$.
3. Extrae el 2 del cociente$:P\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left(x-6\right)\left(x+1\right)$.
4. Producto cero$:x=\frac{1}{2},6$ o −1.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Sea $t=x^2\ge 0$.
2. $\left(t+1\right)\left(t+6\right)=0$ da $t=-1$ o $t=-6$.
3. Ambos son negativos, así que no producen x reales.
4. También puedes comprobar que el polinomio original es estrictamente positivo para todo x real.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Iguala y completa el cuadrado$:{\left(x-6\right)}^2+1=0$.
2. Un cuadrado real no puede valer −1.
3. No hay abscisas reales ni puntos comunes$.S=\varnothing$.

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Respuesta modelo: {6}

1. $P\left(6\right)=0$; divide por x−6.
2. Queda $P\left(x\right)=\left(x-6\right)\left(x^2+6\right)$.
3. Para todo real $x,x^2+6>0$: ese factor nunca es cero.
4. En los reales$,S=\left\{6\right\}$. Una cúbica no tiene necesariamente tres raíces reales distintas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {−5, 7}

1. Ahora conviene $t={\left(x-1\right)}^2\ge 0$.
2. ${\left(t-36\right)}^2=0$ tiene un solo valor auxiliar$:t=36$.
3. ${\left(x-1\right)}^2=36$ da $x-1=\pm 6$.
4. Por tanto $x=-5$ o $x=7$; la repetición del factor no duplica las soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {(6, 7), (7, 6)}

1. Despeja $y=13-x$ y sustituye en $xy=42$.
2. $x\left(13-x\right)=42$ lleva $a{x}^2-13x+42=\left(x-6\right)\left(x-7\right)=0$.
3. Obtienes los pares (6, 7) y (7, 6).
4. Ambos son positivos. Describen el mismo tamaño de rectángulo con las etiquetas de los lados intercambiadas.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.