Raíces y coeficientes: reconstruir una ecuación cuadrática

Antes de empezar: Factorización de cuadráticas, producto nulo, radicales y discriminante.

Al terminar: Usa suma y producto de raíces para construir ecuaciones, recuperar coeficientes y comprobar resultados exactos.

Recupera las bases: Factorización por bloques · Discriminante y número de raíces

Resolver y reconstruir son preguntas distintas

Al resolver una ecuación conoces sus coeficientes y buscas sus raíces. Al reconstruirla conoces las raíces y buscas una expresión que se anule en ellas. Si las raíces son 2 y 5, el producto (x−2)(x−5) vale cero exactamente en esos valores. Los signos dentro de los factores son opuestos a los de las raíces.

(x - 2) (x - 5) = x^{2} - 7 x + 10

De la distributiva a las relaciones entre raíces y coeficientes

Multiplica (x−r₁)(x−r₂): el término lineal es −(r₁+r₂)x y el constante es r₁r₂. Si el coeficiente principal es a, multiplica todo el producto por a. Comparar con $a x^{2} + b x + c$ permite obtener las relaciones de suma y producto, llamadas relaciones de Viète. Requieren $a \neq 0$ ; con $a = 0 y a$ no se trata de una cuadrática.

a (x - r_{1}) (x - r_{2}) = a x^{2} - a (r_{1} + r_{2}) x + a r_{1} r_{2}

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a} r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Las raíces no fijan por sí solas el coeficiente principal

Las ecuaciones $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ y $3 x^{2} - 21 x + 30 = 0$ tienen las mismas raíces. Multiplicar por una constante no nula conserva los ceros. Para obtener una única ecuación en esta familia, indica a o exige que sea mónica, es decir $, a = 1$ . Multiplicar por cero sería distinto: produciría $0 = 0$ y se perdería toda la información.

Una comprobación que usa dos condiciones

Para $x^{2} - 7 x + 10 = 0,$ los números 1 y 6 suman 7, pero su producto es 6: no sirven. Los números 2 y 5 cumplen ambas relaciones. Cuando se proponen dos raíces de una cuadrática y se comprueban exactamente la suma y el producto, la expansión recupera el polinomio completo. Comprobar solo una relación es insuficiente.

Recuperar un coeficiente faltante y tratar el cero

Si conoces una raíz r, sustitúyela en la ecuación original para obtener una condición sobre el coeficiente faltante. También puedes obtener la otra raíz como $\frac{\frac{c}{a}}{r}$ cuando $r \neq 0$ . Si $r = 0$ no puedes dividir entre ella: necesariamente $c = 0, y$ factorizar $x (a x + b) = 0$ permite encontrar la otra raíz $- \frac{b}{a}$ . Si además desconoces b, saber únicamente que cero es raíz no determina ese coeficiente.

Raíces repetidas: una solución distinta, dos factores

En ${(x - 3)}^{2} = 0,$ el conjunto de soluciones es {3}, pero el factor x−3 aparece dos veces. Las relaciones de suma y producto cuentan esa multiplicidad $: 3 + 3 = 6$ y $3 \cdot 3 = 9$ . En la gráfica, la parábola es tangente al eje horizontal. No describas la raíz doble como dos números distintos ni añadas una solución nueva.

Radicales conjugados sin redondear

Las raíces $2 + \sqrt{3}$ y $2 - \sqrt{3}$ tienen suma 4 y producto 1, por la diferencia de cuadrados. La ecuación mónica es $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ . Aunque las raíces sean irracionales, los coeficientes pueden ser enteros. Si el radicando es un cuadrado perfecto, ambas raíces pueden ser racionales; el mismo procedimiento sigue siendo válido.

(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1

Qué representa el explorador

Al fijar dos raíces p y q y un coeficiente a no nulo, se define $f (x) = a (x - p) (x - q)$ . Cambiar a conserva las raíces y modifica la apertura y la orientación. Cuando $p = q$ aparece una raíz doble. El explorador permite construir cuadráticas con raíces reales; no representa las cuadráticas sin raíces reales. En estas últimas, las relaciones de Viète se interpretan usando raíces complejas, fuera del alcance de este taller.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Construye la ecuación cuadrática mónica que tiene esas raíces. «Mónica» significa coeficiente principal igual a 1.

r_{1} = 1 r_{2} = 3 a = 1

Respuesta: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .

Una raíz r corresponde al factor x−r. Escribe $(x - 1) (x - 3) = 0$ .
La suma de raíces es 4; por eso el coeficiente de x es −4. El producto es 3.
Expande $: x^{2} - 4 x + 3 = 0$ . Sustituir cualquiera de las raíces anula uno de los factores.

x^{2} - 4 x + 3 = 0

Ejemplo resuelto 2

Reconstruye la cuadrática con el coeficiente principal indicado. No supongas que siempre vale 1.

r_{1} = - 1 r_{2} = 2 a = 2

Respuesta: $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ .

Escribe $2 (x + 1) (x - 2) = 0$ . El signo del factor cambia respecto de la raíz.
Las raíces suman 1 y multiplican −2. Multiplica los tres coeficientes del producto mónico por 2.
Queda $2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ . Comprueba $- \frac{b}{a} = 1$ y $\frac{c}{a} = - 2$ .

2 x^{2} - 2 x - 4 = 0

Ejemplo resuelto 3

Halla el coeficiente b y la otra raíz. Usa que el número indicado satisface la ecuación.

2 x^{2} + b x + 4 = 0 r_{1} = 1

Respuesta: $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0. b = - 6$ ; la otra raíz es 2.

Sustituye $x = 1 : 2 + 1 b + 4 = 0$ . Como $1 \neq 0,$ puedes despejar $b = - 6$ .
El producto de raíces es $\frac{c}{a} = 2$ . Al dividir entre la raíz conocida 1, la otra raíz es 2.
Comprueba la suma $: 1 + 2 = 3 = - \frac{b}{2}$ . La ecuación completa es $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ .

2 x^{2} - 6 x + 4 = 0

Ejemplo resuelto 4

Elige c para que la ecuación tenga una raíz real doble. Indica esa raíz y explica su multiplicidad.

x^{2} - 2 x + c = 0

Respuesta: $x^{2} - 2 x + 1 = 0. c = 1; x = 1$ es raíz doble.

Completar el cuadrado da ${(x - 1)}^{2} + c - 1 = 0$ . Para tener raíz doble debe quedar ${(x - 1)}^{2} = 0$ .
Por tanto $c = 1$ y la única raíz distinta es $x = 1,$ repetida dos veces en la factorización.
La suma contando multiplicidades es 2 y el producto 1. El discriminante es cero. La gráfica toca el eje en lugar de atravesarlo.

x^{2} - 2 x + 1 = 0

Ejemplo resuelto 5

Construye la ecuación mónica sin aproximar los radicales. Explica por qué sus coeficientes son enteros.

r_{1} = 1 + \sqrt{2} r_{2} = 1 - \sqrt{2} a = 1

Respuesta: $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ .

La suma cancela los radicales y vale 2.
El producto usa conjugados $: (1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) = 1 - 2 = - 1$ .
La ecuación es $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ . También equivale $a {(x - 1)}^{2} = 2$ ; esto recupera exactamente ambas raíces.

x^{2} - 2 x - 1 = 0

Error frecuente: Confundir la suma con $\frac{b}{a},$ olvidar multiplicar todos los coeficientes por a o dividir por una raíz que puede ser cero.

Explorador: de las raíces a los coeficientes

Elige dos raíces reales y un coeficiente principal no nulo. Predice el signo de b y de c antes de observar la ecuación construida.

f (x) = a (x - p) (x - q)

Primera raíz pSegunda raíz qCoeficiente principal a

$p = 2, q = 4, a = 1$ . Suma 6, producto 8. La ecuación es $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

Ventana fija: x entre −6 y 6; altura entre −40 y 40. La curva continúa fuera de la ventana. Las raíces exactas se indican en el resultado; una raíz doble se representa con un único punto.

Desafíos

Mantén las raíces 2 y 4 y cambia a de 1 a −2. ¿Qué cambia y qué se conserva?
Elige raíces −3 y 3. Predice b sin multiplicar todos los términos.
Iguala las raíces y explica por qué hay una sola solución distinta.

Comprobar las predicciones

Al cambiar a, los ceros permanecen, pero cambian la orientación y la escala vertical. Con raíces opuestas, la suma es cero y $b = 0$ . Con raíces iguales, el producto tiene un factor repetido y el discriminante es cero.

Ejemplo

: p = 2, q = 4

a = 1

producen

x^{2} - 6 x + 8 = 0

. La suma es

6 = - \frac{b}{a}

y el producto es

8 = \frac{c}{a}

. Con

a = - 2,

la ecuación es

- 2 x^{2} + 12 x - 16 = 0

y conserva sus raíces.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Construye la ecuación cuadrática mónica que tiene esas raíces. «Mónica» significa coeficiente principal igual a 1.

r_{1} = 4 r_{2} = 6 a = 1

r_{1} = 3 r_{2} = 5 a = 1

r_{1} = 2 r_{2} = 4 a = 1

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Una raíz r corresponde al factor x−r. Escribe $(x - 2) (x - 4) = 0$ .
La suma de raíces es 6; por eso el coeficiente de x es −6. El producto es 8.
Expande $: x^{2} - 6 x + 8 = 0$ . Sustituir cualquiera de las raíces anula uno de los factores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Construye la ecuación cuadrática mónica que tiene esas raíces. «Mónica» significa coeficiente principal igual a 1.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .

x^{2} - 8 x + 15 = 0

Una raíz r corresponde al factor x−r. Escribe $(x - 3) (x - 5) = 0$ .
La suma de raíces es 8; por eso el coeficiente de x es −8. El producto es 15.
Expande $: x^{2} - 8 x + 15 = 0$ . Sustituir cualquiera de las raíces anula uno de los factores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Construye la ecuación cuadrática mónica que tiene esas raíces. «Mónica» significa coeficiente principal igual a 1.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 10 x + 24 = 0$ .

x^{2} - 10 x + 24 = 0

Una raíz r corresponde al factor x−r. Escribe $(x - 4) (x - 6) = 0$ .
La suma de raíces es 10; por eso el coeficiente de x es −10. El producto es 24.
Expande $: x^{2} - 10 x + 24 = 0$ . Sustituir cualquiera de las raíces anula uno de los factores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Reconstruye la cuadrática con el coeficiente principal indicado. No supongas que siempre vale 1.

r_{1} = - 4 r_{2} = 5 a = 2

r_{1} = - 3 r_{2} = 4 a = 2

r_{1} = - 2 r_{2} = 3 a = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 2 x - 12 = 0$ .

2 x^{2} - 2 x - 12 = 0

Escribe $2 (x + 2) (x - 3) = 0$ . El signo del factor cambia respecto de la raíz.
Las raíces suman 1 y multiplican −6. Multiplica los tres coeficientes del producto mónico por 2.
Queda $2 x^{2} - 2 x - 12 = 0$ . Comprueba $- \frac{b}{a} = 1$ y $\frac{c}{a} = - 6$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Reconstruye la cuadrática con el coeficiente principal indicado. No supongas que siempre vale 1.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$ .

2 x^{2} - 2 x - 24 = 0

Escribe $2 (x + 3) (x - 4) = 0$ . El signo del factor cambia respecto de la raíz.
Las raíces suman 1 y multiplican −12. Multiplica los tres coeficientes del producto mónico por 2.
Queda $2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$ . Comprueba $- \frac{b}{a} = 1$ y $\frac{c}{a} = - 12$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Reconstruye la cuadrática con el coeficiente principal indicado. No supongas que siempre vale 1.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 2 x - 40 = 0$ .

2 x^{2} - 2 x - 40 = 0

Escribe $2 (x + 4) (x - 5) = 0$ . El signo del factor cambia respecto de la raíz.
Las raíces suman 1 y multiplican −20. Multiplica los tres coeficientes del producto mónico por 2.
Queda $2 x^{2} - 2 x - 40 = 0$ . Comprueba $- \frac{b}{a} = 1$ y $\frac{c}{a} = - 20$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Halla el coeficiente b y la otra raíz. Usa que el número indicado satisface la ecuación.

2 x^{2} + b x + 40 = 0 r_{1} = 4

2 x^{2} + b x + 24 = 0 r_{1} = 3

2 x^{2} + b x + 12 = 0 r_{1} = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 10 x + 12 = 0. b = - 10$ ; la otra raíz es 3.

2 x^{2} - 10 x + 12 = 0

Sustituye $x = 2 : 8 + 2 b + 12 = 0$ . Como $2 \neq 0,$ puedes despejar $b = - 10$ .
El producto de raíces es $\frac{c}{a} = 6$ . Al dividir entre la raíz conocida 2, la otra raíz es 3.
Comprueba la suma $: 2 + 3 = 5 = - \frac{b}{2}$ . La ecuación completa es $2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Halla el coeficiente b y la otra raíz. Usa que el número indicado satisface la ecuación.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 14 x + 24 = 0. b = - 14$ ; la otra raíz es 4.

2 x^{2} - 14 x + 24 = 0

Sustituye $x = 3 : 18 + 3 b + 24 = 0$ . Como $3 \neq 0,$ puedes despejar $b = - 14$ .
El producto de raíces es $\frac{c}{a} = 12$ . Al dividir entre la raíz conocida 3, la otra raíz es 4.
Comprueba la suma $: 3 + 4 = 7 = - \frac{b}{2}$ . La ecuación completa es $2 x^{2} - 14 x + 24 = 0$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Halla el coeficiente b y la otra raíz. Usa que el número indicado satisface la ecuación.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $2 x^{2} - 18 x + 40 = 0. b = - 18$ ; la otra raíz es 5.

2 x^{2} - 18 x + 40 = 0

Sustituye $x = 4 : 32 + 4 b + 40 = 0$ . Como $4 \neq 0,$ puedes despejar $b = - 18$ .
El producto de raíces es $\frac{c}{a} = 20$ . Al dividir entre la raíz conocida 4, la otra raíz es 5.
Comprueba la suma $: 4 + 5 = 9 = - \frac{b}{2}$ . La ecuación completa es $2 x^{2} - 18 x + 40 = 0$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Elige c para que la ecuación tenga una raíz real doble. Indica esa raíz y explica su multiplicidad.

x^{2} - 8 x + c = 0

x^{2} - 6 x + c = 0

x^{2} - 4 x + c = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 4 x + 4 = 0. c = 4; x = 2$ es raíz doble.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

Completar el cuadrado da ${(x - 2)}^{2} + c - 4 = 0$ . Para tener raíz doble debe quedar ${(x - 2)}^{2} = 0$ .
Por tanto $c = 4$ y la única raíz distinta es $x = 2,$ repetida dos veces en la factorización.
La suma contando multiplicidades es 4 y el producto 4. El discriminante es cero. La gráfica toca el eje en lugar de atravesarlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Elige c para que la ecuación tenga una raíz real doble. Indica esa raíz y explica su multiplicidad.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 6 x + 9 = 0. c = 9; x = 3$ es raíz doble.

x^{2} - 6 x + 9 = 0

Completar el cuadrado da ${(x - 3)}^{2} + c - 9 = 0$ . Para tener raíz doble debe quedar ${(x - 3)}^{2} = 0$ .
Por tanto $c = 9$ y la única raíz distinta es $x = 3,$ repetida dos veces en la factorización.
La suma contando multiplicidades es 6 y el producto 9. El discriminante es cero. La gráfica toca el eje en lugar de atravesarlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Elige c para que la ecuación tenga una raíz real doble. Indica esa raíz y explica su multiplicidad.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 8 x + 16 = 0. c = 16; x = 4$ es raíz doble.

x^{2} - 8 x + 16 = 0

Completar el cuadrado da ${(x - 4)}^{2} + c - 16 = 0$ . Para tener raíz doble debe quedar ${(x - 4)}^{2} = 0$ .
Por tanto $c = 16$ y la única raíz distinta es $x = 4,$ repetida dos veces en la factorización.
La suma contando multiplicidades es 8 y el producto 16. El discriminante es cero. La gráfica toca el eje en lugar de atravesarlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Construye la ecuación mónica sin aproximar los radicales. Explica por qué sus coeficientes son enteros.

r_{1} = 4 + \sqrt{5} r_{2} = 4 - \sqrt{5} a = 1

r_{1} = 3 + \sqrt{4} r_{2} = 3 - \sqrt{4} a = 1

r_{1} = 2 + \sqrt{3} r_{2} = 2 - \sqrt{3} a = 1

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

x^{2} - 4 x + 1 = 0

La suma cancela los radicales y vale 4.
El producto usa conjugados $: (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ .
La ecuación es $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ . También equivale $a {(x - 2)}^{2} = 3$ ; esto recupera exactamente ambas raíces.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Construye la ecuación mónica sin aproximar los radicales. Explica por qué sus coeficientes son enteros.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

x^{2} - 6 x + 5 = 0

La suma cancela los radicales y vale 6.
El producto usa conjugados $: (3 + \sqrt{4}) (3 - \sqrt{4}) = 9 - 4 = 5$ .
La ecuación es $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . También equivale $a {(x - 3)}^{2} = 4$ ; esto recupera exactamente ambas raíces.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Construye la ecuación mónica sin aproximar los radicales. Explica por qué sus coeficientes son enteros.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Relaciona factores, suma de raíces y producto. Incluye el coeficiente principal y verifica expandiendo.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $x^{2} - 8 x + 11 = 0$ .

x^{2} - 8 x + 11 = 0

La suma cancela los radicales y vale 8.
El producto usa conjugados $: (4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5}) = 16 - 5 = 11$ .
La ecuación es $x^{2} - 8 x + 11 = 0$ . También equivale $a {(x - 4)}^{2} = 5$ ; esto recupera exactamente ambas raíces.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué conocer las raíces 2 y 5 no determina un único polinomio? Explica qué dato adicional lo fija y por qué multiplicarlo por cero no conserva sus soluciones.

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Conceptos a mano

Discriminante

En una cuadrática ax²+bx+c=0, con a distinto de cero, es b²−4ac. Su signo distingue dos, una o ninguna raíz real distinta.

Polinomio

Suma finita de términos formados por coeficientes y potencias enteras no negativas de las variables.

Factor

Cada expresión que se multiplica para formar un producto. En 3(x+2), los factores indicados son 3 y x+2; los sumandos no se cancelan como factores.