Antes de empezar: Rectas y sistemas de ecuaciones 2×2.
Al terminar: Interpreta semiplanos, fronteras y regiones factibles con dos variables.
Una desigualdad lineal describe un semiplano
La frontera de ax+by≤c es la recta ax+by=c, siempre que a y b no sean ambos cero. La desigualdad selecciona uno de sus lados y, por ser no estricta, también la frontera. Con < o > la recta se excluye y se dibuja discontinua. Si ambos coeficientes son cero, la condición es verdadera en todo el plano o falsa en todo él.
Elegir el lado sin adivinar
Toma un punto que no esté en la frontera y sustitúyelo. Para x+y≤4, el origen da 0≤4 y pertenece al lado permitido. Para x+y>0 el origen está en la frontera y no sirve para identificar el lado: usa, por ejemplo, (1,1). El dibujo orienta, pero la sustitución decide.
Un sistema exige la región común
Cada desigualdad aporta una región. La solución es su intersección: los puntos que cumplen todas. Puede quedar un polígono, una región no acotada, un segmento, un punto o un conjunto vacío. No supongas que siempre hay un triángulo ni que una región deba contener el origen.
Vértices candidatos y fronteras estrictas
Resolver pares de ecuaciones de frontera produce candidatos a vértices. Después hay que comprobar todas las desigualdades, no solo las dos usadas. Si una frontera es estricta, sus puntos no pertenecen a la región; por eso un valor extremo puede ser un límite al que se aproxima sin alcanzarlo.
El modelo de esta lección
El explorador usa x≥a, y≥0 y x+y≤T, con opción de hacer estricta la última. Cuando T<a, no queda región. Si T=a, solo queda (a,0) en el caso no estricto; con frontera estricta no queda ningún punto. La región sombreada ilustra el área; el punto de prueba y el texto indican exactamente qué fronteras se incluyen.
Ejemplos resueltos
Una región triangular
Representa x≥0, y≥0, x+y≤6.
- Interseca el primer cuadrante con el semiplano bajo x+y=6.
- Los vértices son (0,0), (6,0) y (0,6).
- Todos se incluyen. (4,3) queda fuera porque 4+3>6.
No existe un mínimo real
Con x=2 y y>2x+1, estudia y.
- Se obtiene y>5.
- No hay menor valor real permitido: entre 5 y cualquier candidato siempre hay otro.
- Si además y debe ser entero, el menor es 6.
Error frecuente: Sombrear una unión de regiones cuando se pide un sistema o aceptar un vértice sin revisar las demás condiciones.
Una región que cumple todas las condiciones
Interseca x≥a, y≥0 y x+y≤T. Una frontera estricta puede excluir un vértice o hacer desaparecer el único punto común.
Interseca x≥a, y≥0 y x+y≤T. Una frontera estricta puede excluir un vértice o hacer desaparecer el único punto común.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
En x+y≤6, fija x=2. ¿Cuál es el máximo valor permitido de y?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 2+y≤6; y≤4.
- La igualdad está permitida, así que el máximo se alcanza.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
En x+y≤9, fija x=3. ¿Cuál es el máximo valor permitido de y?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- 3+y≤9; y≤6.
- La igualdad está permitida, así que el máximo se alcanza.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
En x+y≤12, fija x=4. ¿Cuál es el máximo valor permitido de y?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- 4+y≤12; y≤8.
- La igualdad está permitida, así que el máximo se alcanza.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
En y>2x+2, fija x=2. ¿Cuál es el menor y entero permitido?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 7
- y>6.
- Entre los enteros, el primero permitido es 7.
- Sobre los reales no hay un mínimo: puedes acercarte a 6 sin alcanzarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
En y>2x+3, fija x=3. ¿Cuál es el menor y entero permitido?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- y>9.
- Entre los enteros, el primero permitido es 10.
- Sobre los reales no hay un mínimo: puedes acercarte a 9 sin alcanzarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
En y>2x+4, fija x=4. ¿Cuál es el menor y entero permitido?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 13
- y>12.
- Entre los enteros, el primero permitido es 13.
- Sobre los reales no hay un mínimo: puedes acercarte a 12 sin alcanzarlo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
¿Pertenece (2,2) a x≥0, y≥0, x+y<4?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las dos coordenadas son no negativas, pero su suma es 4.
- La tercera condición exige una suma estrictamente menor.
- El punto está en una frontera excluida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
¿Pertenece (3,3) a x≥0, y≥0, x+y<6?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las dos coordenadas son no negativas, pero su suma es 6.
- La tercera condición exige una suma estrictamente menor.
- El punto está en una frontera excluida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
¿Pertenece (4,4) a x≥0, y≥0, x+y<8?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- Las dos coordenadas son no negativas, pero su suma es 8.
- La tercera condición exige una suma estrictamente menor.
- El punto está en una frontera excluida.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Las fronteras x+y=6 y 2x+y=8 se cruzan. Halla la coordenada x del vértice candidato.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Resta las ecuaciones: x=2.
- Entonces y=4.
- Para llamarlo vértice factible, además se debe verificar el sistema completo de desigualdades.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Las fronteras x+y=9 y 2x+y=12 se cruzan. Halla la coordenada x del vértice candidato.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Resta las ecuaciones: x=3.
- Entonces y=6.
- Para llamarlo vértice factible, además se debe verificar el sistema completo de desigualdades.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Las fronteras x+y=12 y 2x+y=16 se cruzan. Halla la coordenada x del vértice candidato.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Resta las ecuaciones: x=4.
- Entonces y=8.
- Para llamarlo vértice factible, además se debe verificar el sistema completo de desigualdades.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Describe toda la región x≥0, y≥0, x+y≤6. Da sus vértices.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Triángulo cerrado con vértices (0,0), (6,0), (0,6)
- Las dos primeras condiciones restringen al primer cuadrante, incluidos los ejes.
- La tercera deja el semiplano bajo x+y=6.
- Las intersecciones de fronteras dan (0,0), (6,0) y (0,6).
- Todas las fronteras se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Describe toda la región x≥0, y≥0, x+y≤9. Da sus vértices.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Triángulo cerrado con vértices (0,0), (9,0), (0,9)
- Las dos primeras condiciones restringen al primer cuadrante, incluidos los ejes.
- La tercera deja el semiplano bajo x+y=9.
- Las intersecciones de fronteras dan (0,0), (9,0) y (0,9).
- Todas las fronteras se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Describe toda la región x≥0, y≥0, x+y≤12. Da sus vértices.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Triángulo cerrado con vértices (0,0), (12,0), (0,12)
- Las dos primeras condiciones restringen al primer cuadrante, incluidos los ejes.
- La tercera deja el semiplano bajo x+y=12.
- Las intersecciones de fronteras dan (0,0), (12,0) y (0,12).
- Todas las fronteras se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Qué cambia en x≥0, y≥0, x+y≤6 si sustituyes ≤ por <?
Trabaja este tema con un profesor
Consulta disponibilidad y costo de clases en línea para reforzar lo que necesitas.
Consultar una clase