Antes de empezar: Notación de intervalos e inecuaciones lineales.
Al terminar: Representa intervalos, puntos aislados y conjuntos vacíos con precisión.
La palabra que organiza la solución
En matemáticas, «y» exige satisfacer simultáneamente todas las condiciones; corresponde a una intersección. «O» se usa inclusivamente: basta con cumplir al menos una, incluso ambas; corresponde a una unión. Dos desigualdades parecidas pueden dar conjuntos muy distintos si cambia esa palabra.
Desigualdades dobles
−2<x≤5 significa x>−2 y x≤5: el intervalo (−2,5]. Si sumas 3, debes hacerlo en los tres miembros: 1<x+3≤8. Si multiplicas por −1, invierte ambas comparaciones y reordena: −5≤−x<2.
Los extremos también se intersectan
x≥2 y x≤2 dejan solo {2}. En cambio x>2 y x≤2 dan ∅. En una unión, x<2 o x>−2 cubren todo ℝ, porque sus regiones se solapan. No añadas un hueco donde alguna condición sí se cumple.
La negación intercambia extremos
La negación de x>3 es x≤3, no x<3: también debe incluir el caso de igualdad. La negación de «x>−2 y x<4» es «x≤−2 o x≥4». Siempre declara el universo: aquí se toma ℝ; dentro de un dominio restringido el complemento se calcula respecto de ese dominio.
Comprobar una descripción
Prueba un punto interior, cada extremo y algún punto exterior. Esto ayuda a encontrar errores, aunque la justificación completa procede de combinar los conjuntos de las condiciones originales. El explorador mantiene tres rectas: las dos condiciones y su resultado.
Ejemplos resueltos
Intersección con un extremo abierto
Resuelve x≥−1 y x<4.
- Primera región [−1,+∞); segunda (−∞,4).
- Los valores comunes forman [−1,4).
- −1 cumple ambas; 4 falla la segunda.
Unión con un hueco
Resuelve x<−1 o x≥4.
- Basta cumplir una de las dos condiciones.
- Solución (−∞,−1) ∪ [4,+∞).
- Los valores entre −1 y 4, incluido −1 pero no 4, quedan fuera.
Error frecuente: Tratar «o» como si exigiera ambas condiciones o incluir un extremo que alguna condición estricta excluye.
Dos condiciones y su resultado
Combina x≥a con x≤b, con opción de excluir cada extremo. «Y» toma la intersección; «o» toma la unión.
Combina x≥a con x≤b, con opción de excluir cada extremo. «Y» toma la intersección; «o» toma la unión.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Resuelve la condición: x > -2 y x ≤ 2. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-2, 2]
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (-2, 2].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Resuelve la condición: x > -3 y x ≤ 3. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-3, 3]
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (-3, 3].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Resuelve la condición: x > -4 y x ≤ 4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (-4, 4]
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (-4, 4].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Resuelve la condición: x < -2 o x ≥ 2. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -2) ∪ [2, +∞)
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (−∞, -2) ∪ [2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Resuelve la condición: x < -3 o x ≥ 3. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -3) ∪ [3, +∞)
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (−∞, -3) ∪ [3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Resuelve la condición: x < -4 o x ≥ 4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, -4) ∪ [4, +∞)
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: (−∞, -4) ∪ [4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Resuelve la condición: x ≥ 2 y x ≤ 2. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: {2}
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: {2}.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Resuelve la condición: x ≥ 3 y x ≤ 3. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: {3}
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: {3}.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Resuelve la condición: x ≥ 4 y x ≤ 4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: {4}
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: {4}.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Resuelve la condición: x > 2 y x < -2. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Resuelve la condición: x > 3 y x < -3. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Resuelve la condición: x > 4 y x < -4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- «Y» exige cumplir ambas: toma la intersección.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Resuelve la condición: x < 2 o x > -2. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Resuelve la condición: x < 3 o x > -3. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Resuelve la condición: x < 4 o x > -4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- «O» exige al menos una: toma la unión, incluida la posibilidad de cumplir ambas.
- Dibuja las dos condiciones por separado y revisa si coinciden sus extremos.
- Resultado: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Cuál es el complemento de [−2,3) en ℝ? Justifica el tipo de cada extremo.
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