Antes de empezar: Ecuaciones lineales, signos e intervalos.
Al terminar: Justifica el cambio de sentido, las fracciones y los casos sin incógnita.
La respuesta es un conjunto
Una inecuación pide todos los valores que hacen verdadera una comparación, no solamente el valor que iguala ambos miembros. x>3 tiene infinitas soluciones y no incluye 3. x≥3 sí lo incluye. En intervalos se escribe (3,+∞) y [3,+∞), respectivamente. Infinito nunca se incluye como extremo: no es un número real.
Por qué un número negativo invierte el orden
Si u<v, entonces v−u>0. Multiplicar por un número negativo hace negativo ese producto y revierte el orden de los puntos en la recta. Por ejemplo 2<5, pero −6>−15 al multiplicar por −3. Sumar o restar la misma cantidad no cambia el sentido; multiplicar o dividir por una constante negativa sí lo cambia.
Esta desigualdad es equivalente a x<3.
Paréntesis y denominadores constantes
Distribuye con cuidado y multiplica todos los términos por un denominador común positivo para evitar cambios de sentido innecesarios. En (2x−1)/3≤(x+2)/2, multiplicar por 6 da 4x−2≤3x+6; por tanto x≤8. Al sustituir x=8 se cumple la igualdad; un valor mayor, como 9, no sirve.
Si desaparece la incógnita
Una comparación verdadera como 0≤2 se cumple para todos los reales del dominio. Una falsa como 0>5 no se cumple para ninguno. No dividas entre un coeficiente cero. Si hay parámetros, estudia por separado su signo antes de dividir; un mismo parámetro puede dar sentidos opuestos.
No multiplicar por una expresión de signo desconocido
Multiplicar x−1>0 por x no conserva una única desigualdad equivalente sobre todo ℝ: x puede ser positivo, negativo o cero. Hay que separar casos o usar análisis de signos. Esta precaución será esencial en las inecuaciones racionales.
Ejemplos resueltos
Un coeficiente negativo
Resuelve 5−3x≥11.
- −3x≥6.
- Divide entre −3: x≤−2.
- Solución (−∞,−2]. x=−2 da igualdad; x=0 no cumple.
Una identidad de orden
Resuelve 2(x+1)≤2x+5.
- Distribuye y resta 2x: 2≤5.
- Es verdadera para cualquier real.
- La solución es ℝ, no un único valor de x.
Error frecuente: Cambiar el sentido al sumar o restar, o no cambiarlo al dividir entre un negativo.
Una comparación, todo un conjunto
Resuelve ax+b comparado con cero. Observa qué ocurre al cambiar el signo de a o hacerlo cero.
Resuelve ax+b comparado con cero. Observa qué ocurre al cambiar el signo de a o hacerlo cero.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Resuelve en ℝ: x − 2 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [2, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 2.
- En (−∞, 2), prueba x=1: la expresión vale -1 (negativo).
- En (2, +∞), prueba x=3: la expresión vale 1 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [2, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Resuelve en ℝ: x − 3 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [3, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 3.
- En (−∞, 3), prueba x=2: la expresión vale -1 (negativo).
- En (3, +∞), prueba x=4: la expresión vale 1 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [3, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Resuelve en ℝ: x − 4 ≥ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [4, +∞)
- Identifica los puntos críticos: 4.
- En (−∞, 4), prueba x=3: la expresión vale -1 (negativo).
- En (4, +∞), prueba x=5: la expresión vale 1 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: [4, +∞).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Resuelve en ℝ: −2x + 6 > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 3)
- −2x+6>0 equivale a −2x>−6.
- Divide entre −2 y cambia el sentido: x<3.
- El extremo no se incluye: (−∞, 3).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Resuelve en ℝ: −3x + 12 > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 4)
- −3x+12>0 equivale a −3x>−12.
- Divide entre −3 y cambia el sentido: x<4.
- El extremo no se incluye: (−∞, 4).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Resuelve en ℝ: −4x + 20 > 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 5)
- −4x+20>0 equivale a −4x>−20.
- Divide entre −4 y cambia el sentido: x<5.
- El extremo no se incluye: (−∞, 5).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
El extremo será una fracción exacta. Resuelve en ℝ: 4x − 5 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 5/4]
- Identifica los puntos críticos: 5/4.
- En (−∞, 5/4), prueba x=1/4: la expresión vale -4 (negativo).
- En (5/4, +∞), prueba x=9/4: la expresión vale 4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, 5/4].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
El extremo será una fracción exacta. Resuelve en ℝ: 6x − 7 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 7/6]
- Identifica los puntos críticos: 7/6.
- En (−∞, 7/6), prueba x=1/6: la expresión vale -6 (negativo).
- En (7/6, +∞), prueba x=13/6: la expresión vale 6 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, 7/6].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
El extremo será una fracción exacta. Resuelve en ℝ: 8x − 9 ≤ 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (−∞, 9/8]
- Identifica los puntos críticos: 9/8.
- En (−∞, 9/8), prueba x=1/8: la expresión vale -8 (negativo).
- En (9/8, +∞), prueba x=17/8: la expresión vale 8 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: (−∞, 9/8].
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Resuelve en ℝ: 2 < 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 2 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Resuelve en ℝ: 3 < 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 3 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Resuelve en ℝ: 4 < 0. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ∅
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 4 (positivo).
- Dentro de cada intervalo abierto no hay ceros ni polos: el signo calculado se mantiene.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ∅.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Resuelve en ℝ: 2(x+2)≥2x+4. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- Distribuye: 2x+4≥2x+4. Resta ambos términos comunes: 0≥0.
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 0 (cero).
- La expresión es idénticamente cero en todo su dominio.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Resuelve en ℝ: 3(x+2)≥3x+6. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- Distribuye: 3x+6≥3x+6. Resta ambos términos comunes: 0≥0.
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 0 (cero).
- La expresión es idénticamente cero en todo su dominio.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Resuelve en ℝ: 4(x+2)≥4x+8. Escribe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Separa puntos donde el signo puede cambiar y puntos excluidos del dominio.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: ℝ
- Distribuye: 4x+8≥4x+8. Resta ambos términos comunes: 0≥0.
- Identifica los puntos críticos: ninguno.
- En ℝ, prueba x=0: la expresión vale 0 (cero).
- La expresión es idénticamente cero en todo su dominio.
- Incluye los ceros del numerador solo si la desigualdad admite igualdad y la expresión está definida.
- Conjunto solución: ℝ.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Qué conjunto obtienes de 0x>−1 y de 0x<−1? Explica sin dividir entre cero.
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