EATRYL
Rutas / Inecuaciones
LECCIÓN 05 / INECUACIONES

Condiciones compuestas: intersección y unión

Resolver condiciones que deben cumplirse simultáneamente.

  • Resolver condiciones que deben cumplirse simultáneamente.
  • Distinguir y de o mediante intersección y unión.
  • Resolver sistemas lineales en una variable.

Antes de empezar: Intervalos y operaciones con inecuaciones.

«Y» significa cumplir ambas

Si x > −2 y x ≤ 5, el número debe cumplir las dos condiciones. El conjunto es (−2;5]. Se obtiene la intersección: solo la zona común.

No basta cumplir una de las condiciones. x = 8 cumple x > −2, pero falla x ≤ 5; por eso no pertenece a la solución del sistema.

Una cadena es una intersección

Resuelve −2<3x+1≤7. Resta 1 en los tres miembros: −3<3x≤6. Divide entre 3 positivo: −1<x≤2.

El intervalo es (−1;2]. Si divides una cadena por un negativo, invierte ambos símbolos y luego reordena de menor a mayor. También puedes separar la cadena en dos inecuaciones para evitar errores.

Sistemas con pasos separados

Para 2x+1>5 y 3x−2≤10, la primera da x > 2 y la segunda x ≤ 4. La intersección es (2;4].

Para x > 4 y x < 1 no hay zona común: ∅. Para x ≥ 2 y x ≤ 2, el único punto común es 2: [2;2].

«O» reúne posibilidades

Si x < −2 o x > 3, basta cumplir al menos una condición. Se toma la unión de los dos rayos. Aquí «o» es inclusiva: cuando un valor cumple ambas condiciones, sigue perteneciendo.

x < 3 o x > 1 cubre todos los reales, porque los rayos se superponen. x < 3 o x > 3 deja fuera solo el 3; los dos conjuntos no son iguales.

Fronteras que se tocan

x ≤ 2 o x > 2 incluye todos los reales. x < 2 o x > 2 excluye 2. La presencia de un único extremo cerrado puede decidir si existe un hueco.

En la intersección, un extremo solo pertenece si lo admiten todas las condiciones activas. En la unión basta que lo admita una. Dibuja primero cada conjunto y después combina.

Comprobar la condición completa

Al verificar una solución de un sistema, sustituye en todas las inecuaciones originales. Al verificar una unión basta una, pero conviene identificar cuál se cumple.

El modelo usa dos rayos y permite alternar «y» y «o». Conserva los mismos límites y observa cómo cambia el conjunto; esa comparación aísla el significado lógico de la conexión.

Condiciones compuestas: intersección y uniónLa intersección conserva valores comunes; la unión incluye los de cualquiera de los conjuntos.A: (1,5]B: [3,7)A∩B:
La intersección conserva valores comunes; la unión incluye los de cualquiera de los conjuntos.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. Para conjuntos solución usa intervalos con punto y coma entre extremos, por ejemplo (−2;5]. Usa U para la unión, R para todos los reales y ninguna para vacío. No escribas la desigualdad con x en esa casilla.

I5G1Resuelve −2<3x+1≤7.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5G2Resuelve 2x+1>5 y 3x−2≤10.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5G3Resuelve x>4 y x<1.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5G4Resuelve x≥2 y x≤2.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5G5Resuelve x<3 o x>1.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5G6En un sistema unido por «y», una solución debe:

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

I5S1Resuelve x<3 y x>1.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5S2Resuelve x<2 o x>2.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

I5S3Resuelve −4≤−2x<6.

Usa punto y coma entre extremos: (-inf;3], (1;5). Para unir tramos usa U. Escribe R para todos los reales y ninguna para vacío. Las fronteras deben ser exactas.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Explícalo con tus palabras

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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Práctica a tu ritmo

Amplía la práctica: ejercicios 10–15

La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve x>2 y x≤5.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (2,5]

  1. La palabra «y» indica intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve x>3 y x≤6.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (3,6]

  1. La palabra «y» indica intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve x>4 y x≤7.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (4,7]

  1. La palabra «y» indica intersección.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Compara x<2 o x>4 con x<2 y x>4.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: La primera es la unión de dos semirrectas; la segunda es vacía

  1. No puede cumplirse simultáneamente ser menor que el extremo pequeño y mayor que el grande.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Compara x<3 o x>5 con x<3 y x>5.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: La primera es la unión de dos semirrectas; la segunda es vacía

  1. No puede cumplirse simultáneamente ser menor que el extremo pequeño y mayor que el grande.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Compara x<4 o x>6 con x<4 y x>6.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: La primera es la unión de dos semirrectas; la segunda es vacía

  1. No puede cumplirse simultáneamente ser menor que el extremo pequeño y mayor que el grande.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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