Radicales: dominio, cuadrados y candidatos

Antes de empezar: Factorización, ecuaciones cuadráticas y desigualdades.

Al terminar: Distingue soluciones reales de candidatos introducidos al elevar al cuadrado.

Recupera las bases: Factorizar y resolver · Combinar condiciones

Raíz principal y dominio real

En los números reales $, \sqrt{A}$ está definida cuando $A \geq 0$ y representa la raíz no negativa. Por ejemplo $\sqrt{9} = 3,$ no $\pm 3$ . La ecuación $y^{2} = 9$ sí tiene dos soluciones. Si hay varias raíces, todos los radicandos deben ser no negativos simultáneamente; si una raíz está en un denominador, además debe ser distinta de cero.

Cuándo elevar al cuadrado conserva la equivalencia

Si $a = b$ entonces $a^{2} = b^{2},$ pero la vuelta falla sin controlar signos $: 3^{2} = {(- 3)}^{2}$ . Por ello $\sqrt{A} = B$ equivale a exigir $A \geq 0, B \geq 0$ y $A = B^{2}$ . La condición $A = B^{2} y a$ asegura $A \geq 0,$ pero escribir el dominio primero sigue siendo útil para detectar errores. Todo candidato debe sustituirse en la ecuación original.

\sqrt{A} = B

A = B^{2}, B \geq 0

Procedimiento para ecuaciones

Declara el dominio; aísla una raíz; anota el signo que debe tener el otro miembro; eleva al cuadrado; resuelve la ecuación resultante; filtra por las condiciones y sustituye en la original. Con dos raíces en lados opuestos, ambas son no negativas: igualar radicandos es reversible dentro del dominio. Con sumas de raíces puede ser necesario aislar otra vez y repetir; cada cuadrado puede añadir candidatos.

Desigualdades con radicales

Para $\sqrt{A} \leq B$ exige $A \geq 0$ y $B \geq 0$ y compara $A \leq B^{2}$ . Para $\sqrt{A} < B$ exige $B > 0$ y $A < B^{2}$ además del dominio. Para $\sqrt{A} > B,$ si $B < 0$ basta el dominio; si $B \geq 0$ compara $A > B^{2}$ . Elevar al cuadrado una desigualdad con un miembro negativo puede cambiar su significado.

Interpretar una magnitud

En $s = \sqrt{2 \frac{h}{g}},$ con $g > 0$ y $h \geq 0, s$ representa un tiempo no negativo. Al despejar $h =$ gs $\frac{²}{2}$ no desaparece la restricción $s \geq 0$ del modelo original. Una solución algebraica puede carecer de sentido físico aunque satisfaga una ecuación transformada.

Ejemplos resueltos

Una raíz extraña

$\sqrt{x + 2} = x$

Dominio $x \geq - 2$ y condición $x \geq 0$ .
Al cuadrar $: x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0$ .
Candidatos 2 y −1.
En la original $: \sqrt{4} = 2; \sqrt{1} = 1 \neq - 1. S = {2}$ .

Un intervalo completo

$\sqrt{x + 3} \leq 2$

Dominio $x \geq - 3$ .
Ambos miembros no negativos $: x + 3 \leq 4$ .
Interseca $x \leq 1$ con $x \geq - 3$ .
$S = [- 3, 1]$ ; en los extremos las raíces valen 0 y 2.

Error frecuente: Escribir ± al evaluar una raíz principal o aceptar todas las raíces de la ecuación cuadrada.

Predice · Mueve · Justifica

Cuadrar no basta

La curva menta es $\sqrt{x + a}$ ; la recta violeta es x. El marcador rojo es el candidato negativo de la ecuación cuadrada: no es una intersección.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve $\sqrt{x + 2} = 2$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {2}

Dominio $: x \geq - 2$ .
Ambos miembros son no negativos; elevar al cuadrado es reversible.
$x + 2 = 4,$ luego $x = 2$ . La raíz principal vale 2.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve $\sqrt{x + 3} = 3$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {6}

Dominio $: x \geq - 3$ .
Ambos miembros son no negativos; elevar al cuadrado es reversible.
$x + 3 = 9,$ luego $x = 6$ . La raíz principal vale 3.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve $\sqrt{x + 4} = 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {12}

Dominio $: x \geq - 4$ .
Ambos miembros son no negativos; elevar al cuadrado es reversible.
$x + 4 = 16,$ luego $x = 12$ . La raíz principal vale 4.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve $\sqrt{x + 2} = - 2$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

En el dominio $x \geq - 2,$ la raíz principal es no negativa.
No puede valer −2.
Elevar al cuadrado daría un candidato, pero no una solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve $\sqrt{x + 3} = - 3$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

En el dominio $x \geq - 3,$ la raíz principal es no negativa.
No puede valer −3.
Elevar al cuadrado daría un candidato, pero no una solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve $\sqrt{x + 4} = - 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ∅

En el dominio $x \geq - 4,$ la raíz principal es no negativa.
No puede valer −4.
Elevar al cuadrado daría un candidato, pero no una solución.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve $\sqrt{x + 2} = x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {2}

Dominio $x \geq - 2$ ; además $x \geq 0$ .
$x + 2 = x^{2},$ es decir $(x - 2) (x + 1) = 0$ .
Los candidatos son 2 y -1. El segundo es negativo y se descarta $; \sqrt{2 + 2} = 2$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve $\sqrt{x + 6} = x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {3}

Dominio $x \geq - 6$ ; además $x \geq 0$ .
$x + 6 = x^{2},$ es decir $(x - 3) (x + 2) = 0$ .
Los candidatos son 3 y -2. El segundo es negativo y se descarta $; \sqrt{3 + 6} = 3$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve $\sqrt{x + 12} = x$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {4}

Dominio $x \geq - 12$ ; además $x \geq 0$ .
$x + 12 = x^{2},$ es decir $(x - 4) (x + 3) = 0$ .
Los candidatos son 4 y -3. El segundo es negativo y se descarta $; \sqrt{4 + 12} = 4$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve $\sqrt{x + 2} \leq 2$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−2, 2]

Primero $x \geq - 2$ .
Como $2 > 0,$ se puede comparar cuadrados $: x + 2 \leq 4$ .
Interseca $x \leq 2$ con el dominio, incluidos ambos extremos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve $\sqrt{x + 3} \leq 3$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−3, 6]

Primero $x \geq - 3$ .
Como $3 > 0,$ se puede comparar cuadrados $: x + 3 \leq 9$ .
Interseca $x \leq 6$ con el dominio, incluidos ambos extremos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve $\sqrt{x + 4} \leq 4$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: [−4, 12]

Primero $x \geq - 4$ .
Como $4 > 0,$ se puede comparar cuadrados $: x + 4 \leq 16$ .
Interseca $x \leq 12$ con el dominio, incluidos ambos extremos.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve $\sqrt{x + 2} = \sqrt{4 - x}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {1}

Dominio conjunto $: - 2 \leq x \leq 4$ .
Las dos raíces son no negativas $: x + 2 = 4 - x$ .
$2 x = 2,$ así que $x = \frac{2}{2}$ ; pertenece al dominio y los radicandos coinciden.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve $\sqrt{x + 6} = \sqrt{9 - x}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${\frac{3}{2}}$

Dominio conjunto $: - 6 \leq x \leq 9$ .
Las dos raíces son no negativas $: x + 6 = 9 - x$ .
$2 x = 3,$ así que $x = \frac{3}{2}$ ; pertenece al dominio y los radicandos coinciden.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve $\sqrt{x + 12} = \sqrt{16 - x}$ .

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Declara el dominio y comprueba qué operaciones son reversibles.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: {2}

Dominio conjunto $: - 12 \leq x \leq 16$ .
Las dos raíces son no negativas $: x + 12 = 16 - x$ .
$2 x = 4,$ así que $x = \frac{4}{2}$ ; pertenece al dominio y los radicandos coinciden.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Explica por qué $\sqrt{x + 2} = x$ y $x + 2 = x^{2}$ no tienen el mismo conjunto solución.

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