EATRYL
Secundaria · Preparatoria

Mezclas: conservar la masa para construir un sistema

Resuelve mezclas, diluciones y reemplazos distinguiendo masa total, masa de soluto y concentración.

Antes de empezar: Porcentajes, fracciones, sistemas lineales y variables no negativas.

Al terminar: Resuelve mezclas, diluciones y reemplazos distinguiendo masa total, masa de soluto y concentración.

Recupera las bases: Problemas con sistemas · Métodos de resolución

Dos balances distintos

En esta lección todos los porcentajes son porcentajes en masa: 10% significa 10 kg de soluto por cada 100 kg de mezcla. Si x e y son masas de dos mezclas, la masa final es x+y. El soluto aportado por la primera es c₁x, donde c₁ se escribe como fracción de uno, por ejemplo 10100. Suponemos que no hay reacción, pérdidas ni evaporación.

x+y=T,c1x+c2y=cT

Promedio ponderado y viabilidad

Si conoces las masas, la concentración final es la masa total de soluto dividida entre la masa total. Si las concentraciones iniciales son distintas, coincide con su promedio simple solo cuando las masas aportadas son iguales. Con masas no negativas y total positivo, la concentración final está entre las dos iniciales. Este límite permite detectar un objetivo imposible antes de resolver.

c=c1x+c2yx+y

El sistema se resuelve y luego se interpreta

Para obtener 20 kg al 25% usando mezclas al 10% y al 40%, plantea x+y=20 y 10x+40y=500 después de multiplicar el balance de soluto por 100. Al restar 10 veces la primera ecuación queda 30y=300:y=10 y x=10. Comprueba ambas masas y ambos balances. Una solución negativa de un sistema puede ser algebraicamente correcta y físicamente inadmisible.

Diluir no destruye el soluto

Agregar agua pura añade masa de mezcla y no añade soluto. La concentración baja porque crece el denominador. Para diluir 6 kg al 40% hasta 20%, la masa de soluto sigue en 2.4 kg y debe cumplirse 2.4=0.20(6+w); resulta w=6 kg. No restes concentraciones como si fueran masas.

Retirar y reemplazar cambia ambos aportes

Si retiras r kg de una mezcla homogénea, también retiras su proporción de soluto. En una masa T con concentración inicial c₁, queda c₁(T−r) de soluto. Si repones r kg con concentración c₂, el soluto final es c₁(T−r)+c₂r. Impón 0≤r≤T. No combines porcentajes en masa y porcentajes en volumen sin convertirlos con información física suficiente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Necesitas 10 kg de mezcla al 25% en masa, usando mezclas al 10% y al 40%. ¿Cuántos kilogramos de cada una debes usar?

  1. Sean x e y las masas no negativas:x+y=10.
  2. Conserva el soluto:(10100)x+(40100)y=(25100)·10.
  3. Multiplica por 100 y resta 10(x+y)=100:30y=150;y=5 y x=5.
  4. Comprobación: masa total 10; soluto 52 kg, igual al 25% de 10.

Ejemplo resuelto 2

Un recipiente contiene 20 kg de mezcla homogénea al 10% en masa. Retiras r kg y agregas la misma masa de mezcla al 40%. ¿Qué r permite terminar al 25%, manteniendo la masa total?

  1. Al retirar r kg homogéneos también retiras soluto: quedan (10100)(20−r) kg de soluto.
  2. La reposición añade (40100)r. Exige (10100)(20−r)+(40100)r=(25100)·20.
  3. Multiplica por 100:200+30r=500;r=10.
  4. Comprueba 0≤r≤20. El resultado mantiene la masa total y alcanza exactamente 25%.

Ejemplo resuelto 3

¿Es posible obtener 10 kg al 41% en masa mezclando únicamente productos al 11% y al 31%, sin retirar componentes ni concentrarlos? Justifica con un sistema y con un límite físico.

  1. Las ecuaciones son x+y=10 y 11x+31y=410.
  2. La solución algebraica es x=−5,y=15 kg. El valor negativo de x no es físicamente admisible.
  3. Una mezcla sin pérdidas tiene concentración entre 11% y 31%. El objetivo 41% supera ambos valores.

Error frecuente: Promediar porcentajes sin ponderar o retirar mezcla sin descontar el soluto retirado.

Predice · Explora · Comprueba

Explorador del modelo

Mantén 20 kg de mezcla total. Decide cuántos proceden del producto al 10%; el resto será del producto al 40%.

x+y=20,c=10x+40y20%
Masa total: 20 kgMenta: mezcla al 10%Naranja: mezcla al 40%

Aporte al 10%: 10 kg. Aporte al 40%: 10 kg.

Masa de soluto: 5 kg. Concentración final: 25% en masa.

El objetivo de 25% se alcanza con 10 kg de cada producto.

La franja muestra masas aportadas por cada mezcla, no una separación física del soluto. Suponemos mezcla sin pérdidas ni reacción; los porcentajes son en masa.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Se mezclan 4 kg de una mezcla con 12% de soluto y 6 kg de otra con 34%. Sin pérdidas ni reacción, ¿qué porcentaje en masa tiene la mezcla final?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 1265% en masa

  1. Masa total:4+6=10 kg.
  2. Masa de soluto:(12100)·4+(34100)·6=6325 kg.
  3. Divide masa de soluto entre masa total y multiplica por 100:1265%. No promedies los porcentajes sin ponderar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Se mezclan 6 kg de una mezcla con 13% de soluto y 9 kg de otra con 36%. Sin pérdidas ni reacción, ¿qué porcentaje en masa tiene la mezcla final?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 1345% en masa

  1. Masa total:6+9=15 kg.
  2. Masa de soluto:(13100)·6+(36100)·9=20150 kg.
  3. Divide masa de soluto entre masa total y multiplica por 100:1345%. No promedies los porcentajes sin ponderar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Se mezclan 8 kg de una mezcla con 14% de soluto y 12 kg de otra con 38%. Sin pérdidas ni reacción, ¿qué porcentaje en masa tiene la mezcla final?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 1425% en masa

  1. Masa total:8+12=20 kg.
  2. Masa de soluto:(14100)·8+(38100)·12=14225 kg.
  3. Divide masa de soluto entre masa total y multiplica por 100:1425%. No promedies los porcentajes sin ponderar.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Necesitas 20 kg de mezcla al 25% en masa, usando mezclas al 10% y al 40%. ¿Cuántos kilogramos de cada una debes usar?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 10 kg al 10% y 10 kg al 40%

  1. Sean x e y las masas no negativas:x+y=20.
  2. Conserva el soluto:(10100)x+(40100)y=(25100)·20.
  3. Multiplica por 100 y resta 10(x+y)=200:30y=300;y=10 y x=10.
  4. Comprobación: masa total 20; soluto 5 kg, igual al 25% de 20.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Necesitas 30 kg de mezcla al 25% en masa, usando mezclas al 10% y al 40%. ¿Cuántos kilogramos de cada una debes usar?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 15 kg al 10% y 15 kg al 40%

  1. Sean x e y las masas no negativas:x+y=30.
  2. Conserva el soluto:(10100)x+(40100)y=(25100)·30.
  3. Multiplica por 100 y resta 10(x+y)=300:30y=450;y=15 y x=15.
  4. Comprobación: masa total 30; soluto 152 kg, igual al 25% de 30.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Necesitas 40 kg de mezcla al 25% en masa, usando mezclas al 10% y al 40%. ¿Cuántos kilogramos de cada una debes usar?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 20 kg al 10% y 20 kg al 40%

  1. Sean x e y las masas no negativas:x+y=40.
  2. Conserva el soluto:(10100)x+(40100)y=(25100)·40.
  3. Multiplica por 100 y resta 10(x+y)=400:30y=600;y=20 y x=20.
  4. Comprobación: masa total 40; soluto 10 kg, igual al 25% de 40.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Hay 6 kg de mezcla al 40% en masa. Agregas agua pura sin pérdidas. ¿Cuántos kilogramos de agua hacen falta para llegar al 20%?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6 kg de agua

  1. El agua añade masa, pero no soluto. La masa de soluto sigue siendo 125 kg.
  2. Si agregas w kg, la nueva masa total es 6+w. Plantea (40100)·6=(20100)(6+w).
  3. Al resolver,w=6. La masa total se duplica a 12 kg y la concentración se reduce a la mitad.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Hay 9 kg de mezcla al 40% en masa. Agregas agua pura sin pérdidas. ¿Cuántos kilogramos de agua hacen falta para llegar al 20%?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 9 kg de agua

  1. El agua añade masa, pero no soluto. La masa de soluto sigue siendo 185 kg.
  2. Si agregas w kg, la nueva masa total es 9+w. Plantea (40100)·9=(20100)(9+w).
  3. Al resolver,w=9. La masa total se duplica a 18 kg y la concentración se reduce a la mitad.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Hay 12 kg de mezcla al 40% en masa. Agregas agua pura sin pérdidas. ¿Cuántos kilogramos de agua hacen falta para llegar al 20%?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 12 kg de agua

  1. El agua añade masa, pero no soluto. La masa de soluto sigue siendo 245 kg.
  2. Si agregas w kg, la nueva masa total es 12+w. Plantea (40100)·12=(20100)(12+w).
  3. Al resolver,w=12. La masa total se duplica a 24 kg y la concentración se reduce a la mitad.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Un recipiente contiene 40 kg de mezcla homogénea al 10% en masa. Retiras r kg y agregas la misma masa de mezcla al 40%. ¿Qué r permite terminar al 25%, manteniendo la masa total?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Retirar y reponer 20 kg

  1. Al retirar r kg homogéneos también retiras soluto: quedan (10100)(40−r) kg de soluto.
  2. La reposición añade (40100)r. Exige (10100)(40−r)+(40100)r=(25100)·40.
  3. Multiplica por 100:400+30r=1000;r=20.
  4. Comprueba 0≤r≤40. El resultado mantiene la masa total y alcanza exactamente 25%.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Un recipiente contiene 60 kg de mezcla homogénea al 10% en masa. Retiras r kg y agregas la misma masa de mezcla al 40%. ¿Qué r permite terminar al 25%, manteniendo la masa total?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Retirar y reponer 30 kg

  1. Al retirar r kg homogéneos también retiras soluto: quedan (10100)(60−r) kg de soluto.
  2. La reposición añade (40100)r. Exige (10100)(60−r)+(40100)r=(25100)·60.
  3. Multiplica por 100:600+30r=1500;r=30.
  4. Comprueba 0≤r≤60. El resultado mantiene la masa total y alcanza exactamente 25%.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Un recipiente contiene 80 kg de mezcla homogénea al 10% en masa. Retiras r kg y agregas la misma masa de mezcla al 40%. ¿Qué r permite terminar al 25%, manteniendo la masa total?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Retirar y reponer 40 kg

  1. Al retirar r kg homogéneos también retiras soluto: quedan (10100)(80−r) kg de soluto.
  2. La reposición añade (40100)r. Exige (10100)(80−r)+(40100)r=(25100)·80.
  3. Multiplica por 100:800+30r=2000;r=40.
  4. Comprueba 0≤r≤80. El resultado mantiene la masa total y alcanza exactamente 25%.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

¿Es posible obtener 20 kg al 42% en masa mezclando únicamente productos al 12% y al 32%, sin retirar componentes ni concentrarlos? Justifica con un sistema y con un límite físico.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No es posible con masas no negativas.

  1. Las ecuaciones son x+y=20 y 12x+32y=840.
  2. La solución algebraica es x=−10,y=30 kg. El valor negativo de x no es físicamente admisible.
  3. Una mezcla sin pérdidas tiene concentración entre 12% y 32%. El objetivo 42% supera ambos valores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

¿Es posible obtener 30 kg al 43% en masa mezclando únicamente productos al 13% y al 33%, sin retirar componentes ni concentrarlos? Justifica con un sistema y con un límite físico.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No es posible con masas no negativas.

  1. Las ecuaciones son x+y=30 y 13x+33y=1290.
  2. La solución algebraica es x=−15,y=45 kg. El valor negativo de x no es físicamente admisible.
  3. Una mezcla sin pérdidas tiene concentración entre 13% y 33%. El objetivo 43% supera ambos valores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

¿Es posible obtener 40 kg al 44% en masa mezclando únicamente productos al 14% y al 34%, sin retirar componentes ni concentrarlos? Justifica con un sistema y con un límite físico.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No es posible con masas no negativas.

  1. Las ecuaciones son x+y=40 y 14x+34y=1760.
  2. La solución algebraica es x=−20,y=60 kg. El valor negativo de x no es físicamente admisible.
  3. Una mezcla sin pérdidas tiene concentración entre 14% y 34%. El objetivo 44% supera ambos valores.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Qué suposición falla si el líquido no está bien mezclado antes de retirar una parte? ¿Por qué no puede obtenerse 50% mezclando únicamente 10% y 40% bajo este modelo?

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