Trabajo conjunto: sumar tasas, no tiempos

Antes de empezar: Fracciones, ecuaciones de primer grado y distinción entre cantidad y tasa.

Al terminar: Modela colaboración, entradas y salidas y comienzos diferidos mediante tasas constantes.

Recupera las bases: Ecuaciones con fracciones · Varios denominadores

Normalizar el trabajo completo

Toma el trabajo completo como una unidad. Si A lo realiza en a horas, con $a > 0,$ su tasa constante es $\frac{1}{a}$ trabajos por hora. En t horas hace $\frac{t}{a}$ trabajos. No confundas la tasa con el tiempo. Las tasas solo se suman si las contribuciones son compatibles y no se estorban; dos personas no siempre duplican la productividad real.

r_{A} = \frac{1}{a}, W_{A} (t) = \frac{t}{a}

Colaboración desde el inicio

Para dos agentes que trabajan simultáneamente a tasas constantes $, \frac{t}{a} + \frac{t}{b} = 1$ . Al sumar fracciones y despejar se obtiene $t = \frac{a b}{a + b}$ . Con a,b positivos, el resultado es menor que cada tiempo individual. Esta comparación sirve como control de plausibilidad, pero la comprobación exacta consiste en sustituir y verificar que las fracciones suman uno.

t (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1, t = \frac{a b}{a + b}

Entrada y salida: el signo tiene significado

Si una entrada llenaría el depósito en a horas y una salida lo vaciaría en b, la tasa neta idealizada es $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ . Desde vacío solo habrá llenado completo con tasa neta positiva $: b > a$ . Si $b = a$ la tasa neta es cero; si $b < a$ el modelo algebraico da una tasa negativa y no se alcanza el llenado desde vacío. Un depósito vacío no adquiere volumen negativo: la descripción física debe respetar ese límite.

r = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}, t = \frac{a b}{b - a} (b > a)

Comienzos diferidos: separar las etapas

Si B llega d horas después, primero comprueba si A ya terminó: si $d \geq a,$ el trabajo termina en a horas y B no interviene. Cuando $0 \leq d < a, A$ realiza $\frac{d}{a}$ antes de la llegada. Durante la colaboración falta $1 - \frac{d}{a}$ y ambas tasas se suman. El tiempo total es d más el tiempo de colaboración, no solo este último.

Verificar con el tiempo de cada participante

En un comienzo diferido, A actúa durante el tiempo total T y B durante T−d. La comprobación es $\frac{T}{a} + \frac{T - d}{b} = 1$ . Mantén todos los tiempos en la misma unidad $: \frac{1}{2}$ hora equivale a 30 minutos; 1.5 horas son 90 minutos. El modelo supone tasas constantes; presión variable, descansos o interferencia entre trabajadores requerirían otro planteamiento.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

A termina un trabajo en 2 horas y B en 3. Si colaboran desde el inicio con tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardan?

Las tasas son $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ trabajos $/ h$ . La tasa conjunta es $\frac{5}{6}$ .
Plantea $\frac{t}{2} + \frac{t}{3} = 1$ ; despeja $t = \frac{6}{5} h$ .
Verifica $: \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . El tiempo es menor que 2 h, el del más rápido.

Ejemplo resuelto 2

Una entrada llenaría un depósito en 2 horas y un desagüe vaciaría uno lleno en 3. Desde vacío, con ambas tasas constantes y simultáneas, ¿cuánto tarda en llenarse?

La tasa neta es $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ depósitos $/ h$ ; es positiva.
Plantea $\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 1$ . Despeja $t = 6 h$ .
Es mayor que 2 h: abrir el desagüe retrasa el llenado. El supuesto de caudal constante es una idealización.

Ejemplo resuelto 3

A tarda 4 horas en completar un trabajo y B tarda 6. A empieza solo; B se incorpora 1 horas después. Con tasas constantes y sumables, ¿cuánto dura el proceso desde que empezó A?

Antes de que llegue B, A hace $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ del trabajo; queda $\frac{3}{4}$ .
Sea s el tiempo que colaboran $: s (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = \frac{3}{4}$ . Así $s = \frac{9}{5} h$ .
El tiempo total es $1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5} h$ .
Comprobación con tiempos distintos: A trabaja $\frac{14}{5} h$ y $B \frac{9}{5} h; \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Error frecuente: Sumar o restar tiempos individuales en lugar de tasas, u olvidar añadir la primera etapa al tiempo total.

Predice · Explora · Comprueba

Explorador del modelo

Compara el tiempo de A y B por separado. B puede colaborar o actuar como salida. Predice cuándo la tasa neta deja de ser positiva.

r_{A} = \frac{1}{a}, r_{B} = \frac{1}{b}

Menta: A aporta $\frac{1}{4}$ de trabajo $/ h$ . Naranja: B aporta $\frac{1}{6}$ de trabajo $/ h$ .

Violeta: tasa conjunta $\frac{5}{12}$ de trabajo $/ h$ .

Tiempo conjunto $: \frac{12}{5}$ horas. Es menor que ambos tiempos individuales.

Las barras con signo comparten escala: 120 unidades gráficas por trabajo $/ h$ . El cero es la línea vertical. Tasa neta no positiva significa que no se completa el llenado desde vacío; no representa volumen negativo.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Una máquina completa un trabajo en 4 horas a ritmo constante. ¿Qué fracción del trabajo realiza en una hora?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{1}{4}$ del trabajo

Toma el trabajo completo como una unidad. La tasa es $\frac{1}{4}$ trabajos por hora.
En una hora realiza $\frac{1}{4}$ del trabajo. La tasa es el inverso del tiempo para un trabajo, no el tiempo mismo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Una máquina completa un trabajo en 5 horas a ritmo constante. ¿Qué fracción del trabajo realiza en una hora?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{1}{5}$ del trabajo

Toma el trabajo completo como una unidad. La tasa es $\frac{1}{5}$ trabajos por hora.
En una hora realiza $\frac{1}{5}$ del trabajo. La tasa es el inverso del tiempo para un trabajo, no el tiempo mismo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Una máquina completa un trabajo en 6 horas a ritmo constante. ¿Qué fracción del trabajo realiza en una hora?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{1}{6}$ del trabajo

Toma el trabajo completo como una unidad. La tasa es $\frac{1}{6}$ trabajos por hora.
En una hora realiza $\frac{1}{6}$ del trabajo. La tasa es el inverso del tiempo para un trabajo, no el tiempo mismo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

A termina un trabajo en 4 horas y B en 6. Si colaboran desde el inicio con tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardan?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{12}{5}$ horas

Las tasas son $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{6}$ trabajos $/ h$ . La tasa conjunta es $\frac{5}{12}$ .
Plantea $\frac{t}{4} + \frac{t}{6} = 1$ ; despeja $t = \frac{12}{5} h$ .
Verifica $: \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . El tiempo es menor que 4 h, el del más rápido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

A termina un trabajo en 6 horas y B en 9. Si colaboran desde el inicio con tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardan?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{18}{5}$ horas

Las tasas son $\frac{1}{6}$ y $\frac{1}{9}$ trabajos $/ h$ . La tasa conjunta es $\frac{5}{18}$ .
Plantea $\frac{t}{6} + \frac{t}{9} = 1$ ; despeja $t = \frac{18}{5} h$ .
Verifica $: \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . El tiempo es menor que 6 h, el del más rápido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

A termina un trabajo en 8 horas y B en 12. Si colaboran desde el inicio con tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardan?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{24}{5}$ horas

Las tasas son $\frac{1}{8}$ y $\frac{1}{12}$ trabajos $/ h$ . La tasa conjunta es $\frac{5}{24}$ .
Plantea $\frac{t}{8} + \frac{t}{12} = 1$ ; despeja $t = \frac{24}{5} h$ .
Verifica $: \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . El tiempo es menor que 8 h, el del más rápido.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

A completa un trabajo en 6 horas. Junto con B tarda 2 horas. Bajo tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardaría B trabajando solo?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 3 horas

Sea b el tiempo positivo de B. Entonces $\frac{1}{6} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ .
Resta tasas $: \frac{1}{b} = \frac{1}{3}$ . Invierte después de restar $: b = 3 h$ .
Comprueba que $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ . Restar directamente los tiempos no modela el trabajo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

A completa un trabajo en 9 horas. Junto con B tarda 3 horas. Bajo tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardaría B trabajando solo?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{9}{2}$ horas

Sea b el tiempo positivo de B. Entonces $\frac{1}{9} + \frac{1}{b} = \frac{1}{3}$ .
Resta tasas $: \frac{1}{b} = \frac{2}{9}$ . Invierte después de restar $: b = \frac{9}{2} h$ .
Comprueba que $\frac{1}{9} + \frac{1}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{3}$ . Restar directamente los tiempos no modela el trabajo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

A completa un trabajo en 12 horas. Junto con B tarda 4 horas. Bajo tasas constantes y sumables, ¿cuánto tardaría B trabajando solo?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 6 horas

Sea b el tiempo positivo de B. Entonces $\frac{1}{12} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$ .
Resta tasas $: \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$ . Invierte después de restar $: b = 6 h$ .
Comprueba que $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$ . Restar directamente los tiempos no modela el trabajo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Una entrada llenaría un depósito en 4 horas y un desagüe vaciaría uno lleno en 6. Desde vacío, con ambas tasas constantes y simultáneas, ¿cuánto tarda en llenarse?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 12 horas

La tasa neta es $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ depósitos $/ h$ ; es positiva.
Plantea $\frac{t}{4} - \frac{t}{6} = 1$ . Despeja $t = 12 h$ .
Es mayor que 4 h: abrir el desagüe retrasa el llenado. El supuesto de caudal constante es una idealización.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Una entrada llenaría un depósito en 6 horas y un desagüe vaciaría uno lleno en 9. Desde vacío, con ambas tasas constantes y simultáneas, ¿cuánto tarda en llenarse?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 18 horas

La tasa neta es $\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$ depósitos $/ h$ ; es positiva.
Plantea $\frac{t}{6} - \frac{t}{9} = 1$ . Despeja $t = 18 h$ .
Es mayor que 6 h: abrir el desagüe retrasa el llenado. El supuesto de caudal constante es una idealización.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Una entrada llenaría un depósito en 8 horas y un desagüe vaciaría uno lleno en 12. Desde vacío, con ambas tasas constantes y simultáneas, ¿cuánto tarda en llenarse?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 24 horas

La tasa neta es $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$ depósitos $/ h$ ; es positiva.
Plantea $\frac{t}{8} - \frac{t}{12} = 1$ . Despeja $t = 24 h$ .
Es mayor que 8 h: abrir el desagüe retrasa el llenado. El supuesto de caudal constante es una idealización.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

A tarda 8 horas en completar un trabajo y B tarda 12. A empieza solo; B se incorpora 2 horas después. Con tasas constantes y sumables, ¿cuánto dura el proceso desde que empezó A?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{28}{5}$ horas en total

Antes de que llegue B, A hace $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ del trabajo; queda $\frac{3}{4}$ .
Sea s el tiempo que colaboran $: s (\frac{1}{8} + \frac{1}{12}) = \frac{3}{4}$ . Así $s = \frac{18}{5} h$ .
El tiempo total es $2 + \frac{18}{5} = \frac{28}{5} h$ .
Comprobación con tiempos distintos: A trabaja $\frac{28}{5} h$ y $B \frac{18}{5} h; \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

A tarda 12 horas en completar un trabajo y B tarda 18. A empieza solo; B se incorpora 3 horas después. Con tasas constantes y sumables, ¿cuánto dura el proceso desde que empezó A?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{42}{5}$ horas en total

Antes de que llegue B, A hace $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ del trabajo; queda $\frac{3}{4}$ .
Sea s el tiempo que colaboran $: s (\frac{1}{12} + \frac{1}{18}) = \frac{3}{4}$ . Así $s = \frac{27}{5} h$ .
El tiempo total es $3 + \frac{27}{5} = \frac{42}{5} h$ .
Comprobación con tiempos distintos: A trabaja $\frac{42}{5} h$ y $B \frac{27}{5} h; \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

A tarda 16 horas en completar un trabajo y B tarda 24. A empieza solo; B se incorpora 4 horas después. Con tasas constantes y sumables, ¿cuánto dura el proceso desde que empezó A?

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Define la incógnita con sus unidades; escribe la relación y las restricciones antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $\frac{56}{5}$ horas en total

Antes de que llegue B, A hace $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ del trabajo; queda $\frac{3}{4}$ .
Sea s el tiempo que colaboran $: s (\frac{1}{16} + \frac{1}{24}) = \frac{3}{4}$ . Así $s = \frac{36}{5} h$ .
El tiempo total es $4 + \frac{36}{5} = \frac{56}{5} h$ .
Comprobación con tiempos distintos: A trabaja $\frac{56}{5} h$ y $B \frac{36}{5} h; \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = 1$ .

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Por qué una tasa neta negativa no significa un tiempo negativo de llenado? Explica qué ocurre en el modelo y qué restricción impone un depósito inicialmente vacío.

¿Necesitas ayuda con este tema?

Trabaja este tema con un profesor de EATRYL.

Consultar una clase sobre este tema