Ecuaciones racionales con varios denominadores

Respuesta modelo: {2}

1. Dominio$:x\ne 0$. El denominador común de la izquierda es 2x.
2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$. Multiplica la ecuación por $4x:6=3x$.
3. $x=2$; en la original$,\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {3}

1. Dominio$:x\ne 0$. El denominador común de la izquierda es 2x.
2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$. Multiplica la ecuación por $6x:9=3x$.
3. $x=3$; en la original$,\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {4}

1. Dominio$:x\ne 0$. El denominador común de la izquierda es 2x.
2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$. Multiplica la ecuación por $8x:12=3x$.
3. $x=4$; en la original$,\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {5}

1. Dominio$:x\ne 1$ y $x\ne -1$. Multiplica ambos miembros por (x−1)(x+1).
2. $2\left(x+1\right)=3\left(x-1\right)$. Distribuye todos los factores.
3. $2x+2=3x-3,$ luego $x=5$.
4. El candidato es admisible; ambos cocientes originales valen $\frac{1}{2}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {7}

1. Dominio$:x\ne 1$ y $x\ne -1$. Multiplica ambos miembros por (x−1)(x+1).
2. $3\left(x+1\right)=4\left(x-1\right)$. Distribuye todos los factores.
3. $3x+3=4x-4,$ luego $x=7$.
4. El candidato es admisible; ambos cocientes originales valen $\frac{1}{2}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: {9}

1. Dominio$:x\ne 1$ y $x\ne -1$. Multiplica ambos miembros por (x−1)(x+1).
2. $4\left(x+1\right)=5\left(x-1\right)$. Distribuye todos los factores.
3. $4x+4=5x-5,$ luego $x=9$.
4. El candidato es admisible; ambos cocientes originales valen $\frac{1}{2}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ℝ ∖ {−2, 2}

1. Dominio$:x\ne -2,2;x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$.
2. Con denominador común, la izquierda es $\frac{\left(x+2\right)-\left(x-2\right)}{x^2-4}$.
3. El numerador queda 4, idéntico al del otro miembro.
4. Es una identidad en su dominio: todos sus valores admisibles son soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ℝ ∖ {−3, 3}

1. Dominio$:x\ne -3,3;x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)$.
2. Con denominador común, la izquierda es $\frac{\left(x+3\right)-\left(x-3\right)}{x^2-9}$.
3. El numerador queda 6, idéntico al del otro miembro.
4. Es una identidad en su dominio: todos sus valores admisibles son soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ℝ ∖ {−4, 4}

1. Dominio$:x\ne -4,4;x^2-16=\left(x-4\right)\left(x+4\right)$.
2. Con denominador común, la izquierda es $\frac{\left(x+4\right)-\left(x-4\right)}{x^2-16}$.
3. El numerador queda 8, idéntico al del otro miembro.
4. Es una identidad en su dominio: todos sus valores admisibles son soluciones.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Dominio$:x\ne 2$. Resta las fracciones$:\frac{x-2}{x-2}=2$.
2. En el dominio, el cociente vale 1, así que la ecuación exigiría $1=2,$ una contradicción.
3. Al eliminar denominadores aparece el candidato $x=2,$ pero era un punto prohibido.
4. $S=\varnothing$. Una simplificación válida en el dominio permite reconocer la contradicción antes de resolver.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Dominio$:x\ne 3$. Resta las fracciones$:\frac{x-3}{x-3}=3$.
2. En el dominio, el cociente vale 1, así que la ecuación exigiría $1=3,$ una contradicción.
3. Al eliminar denominadores aparece el candidato $x=3,$ pero era un punto prohibido.
4. $S=\varnothing$. Una simplificación válida en el dominio permite reconocer la contradicción antes de resolver.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: ∅

1. Dominio$:x\ne 4$. Resta las fracciones$:\frac{x-4}{x-4}=4$.
2. En el dominio, el cociente vale 1, así que la ecuación exigiría $1=4,$ una contradicción.
3. Al eliminar denominadores aparece el candidato $x=4,$ pero era un punto prohibido.
4. $S=\varnothing$. Una simplificación válida en el dominio permite reconocer la contradicción antes de resolver.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}\}$

1. Dominio$:x\ne -2,2$. La suma de la izquierda es $2\frac{x}{x^2-4}$.
2. Multiplica por $2\left(x^2-4\right)$ dentro del dominio$:4x=x^2-4$.
3. $x^2-4x-4=0$; la fórmula cuadrática da $x=2\pm 2\sqrt{2}$.
4. Ninguna raíz es $\pm 2$. Ambas satisfacen $x^2-4=4x$; por ello el cociente original vale $\frac{1}{2}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{3-3\sqrt{2},3+3\sqrt{2}\}$

1. Dominio$:x\ne -3,3$. La suma de la izquierda es $2\frac{x}{x^2-9}$.
2. Multiplica por $3\left(x^2-9\right)$ dentro del dominio$:6x=x^2-9$.
3. $x^2-6x-9=0$; la fórmula cuadrática da $x=3\pm 3\sqrt{2}$.
4. Ninguna raíz es $\pm 3$. Ambas satisfacen $x^2-9=6x$; por ello el cociente original vale $\frac{1}{3}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Respuesta modelo: $\{4-4\sqrt{2},4+4\sqrt{2}\}$

1. Dominio$:x\ne -4,4$. La suma de la izquierda es $2\frac{x}{x^2-16}$.
2. Multiplica por $4\left(x^2-16\right)$ dentro del dominio$:8x=x^2-16$.
3. $x^2-8x-16=0$; la fórmula cuadrática da $x=4\pm 4\sqrt{2}$.
4. Ninguna raíz es $\pm 4$. Ambas satisfacen $x^2-16=8x$; por ello el cociente original vale $\frac{1}{4}$.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.