Antes de empezar: Solución de sistemas y interpretación de unidades.
Al terminar: Plantea problemas de costos, mezclas, edades y geometría.
Definir variables antes de escribir símbolos
Declara qué representa cada variable, su unidad y su dominio. En venta de entradas, x e y son enteros no negativos; en una mezcla por masa pueden ser reales no negativos. Dos datos no siempre proporcionan dos relaciones independientes: conocer x+y=10 y 2x+2y=20 no determina ambas cantidades.
Cantidad total y valor total
Si hay entradas de 30 y 50 pesos, x+y cuenta entradas y 30x+50y cuenta pesos. Las unidades explican por qué cada cantidad se multiplica por su precio. No intercambies coeficientes ni uses x+y para representar la recaudación.
Mezclas: conservar lo que se mide
Al mezclar masas x e y con fracciones de soluto p y q, la masa total es x+y y la de soluto es px+qy. Para obtener masa M con concentración r, el sistema es x+y=M y px+qy=rM. Se supone que no se pierde masa y que las concentraciones usan la misma base. No mezcles porcentaje en masa con porcentaje en volumen. Un promedio simple de porcentajes solo sirve si las cantidades son iguales.
Edades y geometría requieren relaciones concretas
La diferencia de edades se conserva si pasa el mismo tiempo para ambas personas; su suma aumenta el doble de ese tiempo. En un rectángulo, el perímetro es 2l+2a, no la suma sin duplicar. Una longitud positiva y una cantidad entera son restricciones del contexto, no consecuencias automáticas del álgebra.
Una solución real puede rechazar el modelo
Si el sistema da −1 triciclos, no hay solución física con esos datos aunque el sistema algebraico tenga un par único. No redondees ni cambies signos para forzar una respuesta. Comprueba cada dato original y explica si hay incompatibilidad, información insuficiente o una hipótesis que debe revisarse.
Ejemplos resueltos
Dos tipos de entradas
Se venden 12 entradas de 30 o 50 pesos por un total de 460 pesos.
- x+y=12; 30x+50y=460.
- Resta 30 veces la primera: 20y=100; y=5 y x=7.
- 7·30+5·50=460; ambas cantidades son enteras no negativas.
Mezclar por masa
Obtén 20 kg al 20% mezclando soluciones al 10% y al 30%.
- x+y=20; 0.10x+0.30y=4 kg de soluto.
- Resta 0.10 veces la primera: 0.20y=2; y=10, x=10.
- Las masas suman 20 kg y el soluto 1+3=4 kg.
Error frecuente: Usar relaciones con unidades incompatibles o aceptar cantidades negativas sin interpretar el contexto.
La concentración como promedio ponderado
Mezcla una solución al 10% con otra al 30%, usando porcentajes en masa. Se conserva la masa de soluto.
Mezcla una solución al 10% con otra al 30%, usando porcentajes en masa. Se conserva la masa de soluto.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Se venden 6 entradas, unas de 30 pesos (x) y otras de 50 (y); se recaudan 220 pesos. ¿Cuántas son de 50 pesos? Sistema: x + y = 6; 30x + 50y = 220. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- Multiplica la primera ecuación por 30 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-20)y=-40; y=2.
- Sustituye en x + y = 6: x=4.
- Solución completa: (x,y)=(4,2). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 6 y 220, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Se venden 9 entradas, unas de 30 pesos (x) y otras de 50 (y); se recaudan 330 pesos. ¿Cuántas son de 50 pesos? Sistema: x + y = 9; 30x + 50y = 330. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- Multiplica la primera ecuación por 30 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-20)y=-60; y=3.
- Sustituye en x + y = 9: x=6.
- Solución completa: (x,y)=(6,3). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 9 y 330, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Se venden 12 entradas, unas de 30 pesos (x) y otras de 50 (y); se recaudan 440 pesos. ¿Cuántas son de 50 pesos? Sistema: x + y = 12; 30x + 50y = 440. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Multiplica la primera ecuación por 30 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-20)y=-80; y=4.
- Sustituye en x + y = 12: x=8.
- Solución completa: (x,y)=(8,4). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 12 y 440, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Se mezclan 20 kg de soluciones al 10% (x kg) y al 30% (y kg), con concentración final de 20% en masa. Se conserva la masa total y la de soluto. Sistema: x + y = 20; (1/10)x + (3/10)y = 4. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Multiplica la primera ecuación por 1/10 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1/5)y=-2; y=10.
- Sustituye en x + y = 20: x=10.
- Solución completa: (x,y)=(10,10). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 20 y 4, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Se mezclan 30 kg de soluciones al 10% (x kg) y al 30% (y kg), con concentración final de 20% en masa. Se conserva la masa total y la de soluto. Sistema: x + y = 30; (1/10)x + (3/10)y = 6. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Multiplica la primera ecuación por 1/10 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1/5)y=-3; y=15.
- Sustituye en x + y = 30: x=15.
- Solución completa: (x,y)=(15,15). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 30 y 6, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Se mezclan 40 kg de soluciones al 10% (x kg) y al 30% (y kg), con concentración final de 20% en masa. Se conserva la masa total y la de soluto. Sistema: x + y = 40; (1/10)x + (3/10)y = 8. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Multiplica la primera ecuación por 1/10 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (-1/5)y=-4; y=20.
- Sustituye en x + y = 40: x=20.
- Solución completa: (x,y)=(20,20). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 40 y 8, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Dos personas tienen edades cuya suma es 16 años; la mayor supera a la menor en 4 años. x es la edad mayor, y la menor. Sistema: x + y = 16; x - y = 4. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=12; y=6.
- Sustituye en x + y = 16: x=10.
- Solución completa: (x,y)=(10,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 16 y 4, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Dos personas tienen edades cuya suma es 24 años; la mayor supera a la menor en 6 años. x es la edad mayor, y la menor. Sistema: x + y = 24; x - y = 6. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 15
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=18; y=9.
- Sustituye en x + y = 24: x=15.
- Solución completa: (x,y)=(15,9). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 24 y 6, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Dos personas tienen edades cuya suma es 32 años; la mayor supera a la menor en 8 años. x es la edad mayor, y la menor. Sistema: x + y = 32; x - y = 8. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 1; resta para eliminar x.
- Queda (2)y=24; y=12.
- Sustituye en x + y = 32: x=20.
- Solución completa: (x,y)=(20,12). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 32 y 8, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rectángulo tiene perímetro 28 cm; su largo x supera al ancho y en 2 cm. Sistema: 2x + 2y = 28; x - y = 2. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (4)y=24; y=6.
- Sustituye en 2x + 2y = 28: x=8.
- Solución completa: (x,y)=(8,6). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 28 y 2, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rectángulo tiene perímetro 42 cm; su largo x supera al ancho y en 3 cm. Sistema: 2x + 2y = 42; x - y = 3. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (4)y=36; y=9.
- Sustituye en 2x + 2y = 42: x=12.
- Solución completa: (x,y)=(12,9). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 42 y 3, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rectángulo tiene perímetro 56 cm; su largo x supera al ancho y en 4 cm. Sistema: 2x + 2y = 56; x - y = 4. Resuelve en tu cuaderno y escribe únicamente y.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Elimina una variable, recupera la otra y comprueba ambas ecuaciones.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- Multiplica la primera ecuación por 1 y la segunda por 2; resta para eliminar x.
- Queda (4)y=48; y=12.
- Sustituye en 2x + 2y = 56: x=16.
- Solución completa: (x,y)=(16,12). Comprobación: el primer miembro de cada ecuación vale 56 y 4, respectivamente.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Hay 5 vehículos, todos bicicletas (2 ruedas) o triciclos (3 ruedas). Se cuentan 9 ruedas. ¿Son compatibles los datos?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Compara también con el mínimo posible de ruedas.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; resultaría una cantidad negativa de triciclos
- Si x son bicicletas e y triciclos: x+y=5, 2x+3y=9.
- Resta dos veces la primera: y=−1; x=6.
- La solución real existe, pero el modelo exige x,y enteros no negativos.
- Incluso todas bicicletas darían 10 ruedas, más que el dato.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Hay 6 vehículos, todos bicicletas (2 ruedas) o triciclos (3 ruedas). Se cuentan 11 ruedas. ¿Son compatibles los datos?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Compara también con el mínimo posible de ruedas.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; resultaría una cantidad negativa de triciclos
- Si x son bicicletas e y triciclos: x+y=6, 2x+3y=11.
- Resta dos veces la primera: y=−1; x=7.
- La solución real existe, pero el modelo exige x,y enteros no negativos.
- Incluso todas bicicletas darían 12 ruedas, más que el dato.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Hay 7 vehículos, todos bicicletas (2 ruedas) o triciclos (3 ruedas). Se cuentan 13 ruedas. ¿Son compatibles los datos?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Compara también con el mínimo posible de ruedas.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No; resultaría una cantidad negativa de triciclos
- Si x son bicicletas e y triciclos: x+y=7, 2x+3y=13.
- Resta dos veces la primera: y=−1; x=8.
- La solución real existe, pero el modelo exige x,y enteros no negativos.
- Incluso todas bicicletas darían 14 ruedas, más que el dato.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Cómo detectarías que una concentración objetivo no se puede obtener mezclando dos soluciones dadas?
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