Antes de empezar: Reducción de sistemas 2×2 y manejo de fracciones.
Al terminar: Extensión de preparatoria: resuelve y clasifica sistemas lineales 3×3.
La solución ahora es una terna
Un sistema de tres ecuaciones lineales con x,y,z busca una terna que satisfaga las tres condiciones. Tener tres ecuaciones no garantiza una única solución: podrían repetirse o contradecirse. Una ecuación lineal no degenerada representa un plano; la intersección de tres planos puede ser un punto, una recta, un plano o el conjunto vacío.
Crear una estructura triangular
Conserva la primera ecuación y úsala para eliminar x de las otras dos. Resuelve el sistema 2×2 resultante en y,z; después recupera x. Si logras una fila solo en z, resuelve de abajo hacia arriba. Si el coeficiente elegido para dividir es cero, intercambia filas cuando sea posible; nunca dividas entre cero.
Operaciones que preservan el sistema
Intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una por una constante no nula o sumar a una un múltiplo de otra son operaciones reversibles. Una matriz aumentada guarda solo los coeficientes en el orden x,y,z y, después de una separación, los términos independientes. Cada fila sigue representando una ecuación, no una lista sin significado.
Reconocer variables libres y contradicciones
Una fila 0=0 no aporta información. Una fila 0=1 hace incompatible el sistema. Si no hay contradicción y faltan condiciones independientes, alguna variable queda libre. Expresar las demás en función de ella describe todo el conjunto solución; elegirla igual a cero solo da un ejemplo.
Comprobar las tres ecuaciones originales
Los errores de signos se acumulan con más filas. Comprueba la terna en las tres ecuaciones originales y conserva fracciones exactas. El explorador muestra una secuencia concreta de operaciones; es una introducción a la eliminación de Gauss, no una declaración de que todo álgebra matricial esté cubierta.
Ejemplos resueltos
Eliminar sin fracciones al inicio
Resuelve x+y+z=6; 2x−y+z=3; x+2y−z=2.
- E₂−2E₁: −3y−z=−9. E₃−E₁: y−2z=−4.
- De la segunda reducida, y=2z−4. Sustituye en la primera: −7z=−21; z=3.
- y=2, x=1. Comprueba: 1+2+3=6; 2−2+3=3; 1+4−3=2.
Una variable libre
Resuelve x+y+z=6; 2x+2y+2z=12; y−z=1.
- La segunda repite la primera.
- Toma z=t; entonces y=t+1 y x=5−2t.
- Todas las ternas (5−2t,t+1,t), t real, satisfacen las tres ecuaciones.
Error frecuente: Suponer que tres ecuaciones siempre dan una terna única o confundir una fila nula con una contradicción.
Tres filas, una terna
Elimina x, después y, y recupera la terna. Las filas conservadas permiten invertir cada operación.
Elimina x, después y, y recupera la terna. Las filas conservadas permiten invertir cada operación.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Sistema: x = 2; y = 3; z = 4. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- Las ecuaciones ya están despejadas: x=2, y=3, z=4.
- La terna satisface las tres condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Sistema: x = 3; y = 4; z = 5. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Las ecuaciones ya están despejadas: x=3, y=4, z=5.
- La terna satisface las tres condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Sistema: x = 4; y = 5; z = 6. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- Las ecuaciones ya están despejadas: x=4, y=5, z=6.
- La terna satisface las tres condiciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Sistema: x + y + z = 9; y + z = 7; z = 4. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- La tercera da z=4.
- La segunda da y=3.
- La primera da x=2.
- Sustituye la terna en las tres ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Sistema: x + y + z = 12; y + z = 9; z = 5. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- La tercera da z=5.
- La segunda da y=4.
- La primera da x=3.
- Sustituye la terna en las tres ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Sistema: x + y + z = 15; y + z = 11; z = 6. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente x.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- La tercera da z=6.
- La segunda da y=5.
- La primera da x=4.
- Sustituye la terna en las tres ecuaciones.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Sistema: x + y + z = 6; 2x - y + z = 3; x + 2y - z = 3. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 18/7
- Resta 2E₁ a E₂: −3y−z=−9. Resta E₁ a E₃: y−2z=−3.
- Sustituye y=2z−3: −7z+9=−9; z=18/7.
- y=15/7; x=9/7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Sistema: x + y + z = 9; 2x - y + z = 5; x + 2y - z = 6. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 22/7
- Resta 2E₁ a E₂: −3y−z=−13. Resta E₁ a E₃: y−2z=−3.
- Sustituye y=2z−3: −7z+9=−13; z=22/7.
- y=23/7; x=18/7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Sistema: x + y + z = 12; 2x - y + z = 7; x + 2y - z = 9. Resuelve la terna en tu cuaderno y escribe únicamente z.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 26/7
- Resta 2E₁ a E₂: −3y−z=−17. Resta E₁ a E₃: y−2z=−3.
- Sustituye y=2z−3: −7z+9=−17; z=26/7.
- y=31/7; x=27/7.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Sistema: x + y + z = 6; 2x + 2y + 2z = 12; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- E₂−2E₁ es 0=0.
- De E₃, y=z+1. Toma z=t.
- E₁ da x=5−2t.
- La solución es (5−2t,t+1,t), con t real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Sistema: x + y + z = 9; 2x + 2y + 2z = 18; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- E₂−2E₁ es 0=0.
- De E₃, y=z+1. Toma z=t.
- E₁ da x=8−2t.
- La solución es (8−2t,t+1,t), con t real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Sistema: x + y + z = 12; 2x + 2y + 2z = 24; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Infinitas soluciones
- E₂−2E₁ es 0=0.
- De E₃, y=z+1. Toma z=t.
- E₁ da x=11−2t.
- La solución es (11−2t,t+1,t), con t real.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Sistema: x + y + z = 6; 2x + 2y + 2z = 13; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- E₂−2E₁ produce 0=1.
- Una contradicción basta para descartar cualquier terna, aunque la tercera ecuación sea compatible con alguna de las primeras.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Sistema: x + y + z = 9; 2x + 2y + 2z = 19; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- E₂−2E₁ produce 0=1.
- Una contradicción basta para descartar cualquier terna, aunque la tercera ecuación sea compatible con alguna de las primeras.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Sistema: x + y + z = 12; 2x + 2y + 2z = 25; y - z = 1. Clasifica y describe el conjunto solución.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Empieza por una variable despejada o elimina x conservando la primera fila.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Ninguna solución
- E₂−2E₁ produce 0=1.
- Una contradicción basta para descartar cualquier terna, aunque la tercera ecuación sea compatible con alguna de las primeras.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
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¿Por qué comprobar solo dos de las tres ecuaciones no basta?
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