Tres incógnitas: eliminar sin perder soluciones

Antes de empezar: Sistemas $2 \times 2,$ signos, fracciones y ecuaciones de primer grado.

Al terminar: Resuelve sistemas $3 \times 3$ por operaciones equivalentes, sustitución hacia atrás y comprobación exacta.

Recupera las bases: Primera aproximación a tres incógnitas

Una terna debe cumplir tres condiciones

La solución es una terna ordenada: intercambiar coordenadas puede dejar de satisfacer el sistema. Cada ecuación lineal con algún coeficiente no nulo describe un plano; buscamos los puntos comunes a todos. Antes de calcular, fija qué representa cada incógnita. Tres ecuaciones no garantizan una solución única: pueden repetir información o contradecirse.

Por qué una operación conserva el conjunto solución

Puedes intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una ecuación completa por un número distinto de cero o sumar a una ecuación un múltiplo de otra, conservando esta última. Cada paso puede deshacerse. Multiplicar por cero pierde información. Sustituir ambas ecuaciones solo por su suma tampoco es equivalente: desaparece una condición.

Una matriz es una organización de las ecuaciones

En cada fila escribe los coeficientes de x, y y z, seguidos del término independiente. Un término ausente se representa con cero. El último número no es un coeficiente de una cuarta incógnita. En las matrices de esta unidad, las tres primeras columnas son coeficientes y la cuarta contiene los resultados de las igualdades.

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & 2 \end{matrix}]

Eliminación y sustitución hacia atrás

Elige un coeficiente no nulo como pivote. Usa su ecuación para eliminar esa incógnita de las otras filas. Después trabaja con las dos incógnitas restantes. Si obtienes una forma triangular, despeja primero la última incógnita y retrocede. Para el ejemplo, las operaciones $F 2 - 2 F 1$ y $F 3 - F 1,$ un intercambio de filas y la suma $F 3 + 3 F 2$ dejan lo siguiente:

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 2 & - 4 \\ 0 & 0 & - 7 & - 21 \end{matrix}]

La última fila da $z = 3$ ; luego $y - 2 z = - 4$ da $y = 2$ ; finalmente $x + y + z = 6$ da $x = 1$ . Reducir todavía más hasta aislar cada variable es válido, aunque no siempre es necesario.

Comprobar incluye revisar la equivalencia

Sustituir demuestra que una terna sí es solución, pero por sí solo no descarta otras. La eliminación equivalente con un pivote por incógnita demuestra unicidad. Evita redondear durante los pasos: una fracción exacta mantiene visibles las cancelaciones. Si aparece un parámetro en un divisor, separa antes el caso en que vale cero.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Resuelve por sustitución desde la última ecuación hacia la primera. Entrega una terna ordenada.

x + y + z = 3

y + 2 z = 2

2 z = 0

Respuesta: (1, 2, 0)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre 2.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (1, 2, 0).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 3, 2, 0, exactamente sus términos independientes.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Ejemplo resuelto 2

El primer coeficiente de x es cero. Elige un pivote válido y resuelve con fracciones exactas.

y + z = \frac{2}{3}

x - y + z = - \frac{1}{6}

2 x + y - z = \frac{5}{3}

Respuesta: $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0)$

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Intercambia F1 y F2.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (3) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -6.
Reemplaza F1 por F1 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0)$ .
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan $\frac{2}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{5}{3},$ exactamente sus términos independientes.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 & 1 & - \frac{1}{6} \\ 2 & 1 & - 1 & \frac{5}{3} \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & - \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 2 & 1 & - 1 & \frac{5}{3} \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & - \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 3 & - 3 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 3 & - 3 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Ejemplo resuelto 3

Resuelve sin redondear. Explica por qué restar un múltiplo de una ecuación debe aplicarse a ambos miembros.

x + y + z = 3

x + y + 2 z = 5

x + 2 y - z = 1

Respuesta: (-1, 2, 2)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (3) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (-2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-1, 2, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 3, 5, 1, exactamente sus términos independientes.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & - 1 & 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & - 1 & 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Error frecuente: Operar los coeficientes sin modificar el término independiente, o dividir por un pivote nulo.

Explorador: observa, predice y comprueba

Las columnas son x, y, z y término independiente. Sigue una operación reversible por paso; compara la fila completa.

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & 2 \end{matrix}]

Sistema original.

Al terminar $: z = 3, y = 2, x = 1$ . Las operaciones cambian la escritura, no la terna solución.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Comprueba la terna (2, 3, 1) en las tres ecuaciones. Explica por qué no basta revisar solo una.

x + y + z = 6

2 x - y + z = 2

x + 2 y - z = 7

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (2, 3, 1)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (2, 3, 1).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 6, 2, 7, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Comprueba la terna (3, 4, 2) en las tres ecuaciones. Explica por qué no basta revisar solo una.

x + y + z = 9

2 x - y + z = 4

x + 2 y - z = 9

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (3, 4, 2)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (3, 4, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 9, 4, 9, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Comprueba la terna (4, 5, 3) en las tres ecuaciones. Explica por qué no basta revisar solo una.

x + y + z = 12

2 x - y + z = 6

x + 2 y - z = 11

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (4, 5, 3)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (4, 5, 3).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 12, 6, 11, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve por sustitución desde la última ecuación hacia la primera. Entrega una terna ordenada.

x + y + z = 12

y + 2 z = 11

2 z = 6

x + y + z = 9

y + 2 z = 8

2 z = 4

x + y + z = 6

y + 2 z = 5

2 z = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (2, 3, 1)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre 2.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (2, 3, 1).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 6, 5, 2, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve por sustitución desde la última ecuación hacia la primera. Entrega una terna ordenada.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (3, 4, 2)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre 2.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (3, 4, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 9, 8, 4, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve por sustitución desde la última ecuación hacia la primera. Entrega una terna ordenada.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (4, 5, 3)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre 2.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (4, 5, 3).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 12, 11, 6, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve por eliminación y comprueba la terna en el sistema original.

x + y + z = 12

2 x - y + z = 6

x + 2 y - z = 11

x + y + z = 9

2 x - y + z = 4

x + 2 y - z = 9

x + y + z = 6

2 x - y + z = 2

x + 2 y - z = 7

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (2, 3, 1)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (2, 3, 1).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 6, 2, 7, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve por eliminación y comprueba la terna en el sistema original.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (3, 4, 2)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (3, 4, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 9, 4, 9, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve por eliminación y comprueba la terna en el sistema original.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (4, 5, 3)

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre $- \frac{7}{3}$ .
Reemplaza F1 por F1 menos $(\frac{2}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos $(\frac{1}{3})$ veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (4, 5, 3).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 12, 6, 11, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

El primer coeficiente de x es cero. Elige un pivote válido y resuelve con fracciones exactas.

y + z = \frac{19}{6}

x - y + z = \frac{11}{6}

2 x + y - z = \frac{25}{6}

y + z = \frac{7}{3}

x - y + z = \frac{7}{6}

2 x + y - z = \frac{10}{3}

y + z = \frac{3}{2}

x - y + z = \frac{1}{2}

2 x + y - z = \frac{5}{2}

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(1, 1, \frac{1}{2})$

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Intercambia F1 y F2.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (3) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -6.
Reemplaza F1 por F1 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es $(1, 1, \frac{1}{2})$ .
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2},$ exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

El primer coeficiente de x es cero. Elige un pivote válido y resuelve con fracciones exactas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, 1)$

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Intercambia F1 y F2.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (3) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -6.
Reemplaza F1 por F1 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es $(\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, 1)$ .
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan $\frac{7}{3}, \frac{7}{6}, \frac{10}{3},$ exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

El primer coeficiente de x es cero. Elige un pivote válido y resuelve con fracciones exactas.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(2, \frac{5}{3}, \frac{3}{2})$

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Intercambia F1 y F2.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (-1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (3) veces F2. Conserva las otras filas.
Divide toda F3, incluido el término independiente, entre -6.
Reemplaza F1 por F1 menos (2) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es $(2, \frac{5}{3}, \frac{3}{2})$ .
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan $\frac{19}{6}, \frac{11}{6}, \frac{25}{6},$ exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve sin redondear. Explica por qué restar un múltiplo de una ecuación debe aplicarse a ambos miembros.

x + y + z = 9

4 x + 4 y + 5 z = 44

x + 2 y - z = - 2

x + y + z = 7

3 x + 3 y + 4 z = 27

x + 2 y - z = - 1

x + y + z = 5

2 x + 2 y + 3 z = 14

x + 2 y - z = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (-2, 3, 4)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (3) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (-2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-2, 3, 4).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 5, 14, 0, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve sin redondear. Explica por qué restar un múltiplo de una ecuación debe aplicarse a ambos miembros.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (-3, 4, 6)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (3) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (3) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (-2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-3, 4, 6).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 7, 27, -1, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve sin redondear. Explica por qué restar un múltiplo de una ecuación debe aplicarse a ambos miembros.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (-4, 5, 8)

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (4) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (3) veces F3. Conserva las otras filas.
Reemplaza F2 por F2 menos (-2) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-4, 5, 8).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 9, 44, -2, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Explica cómo deshacer el paso $F 2 \leftarrow F 2 - 3 F 1. ¿$ Por qué es importante conservar F1?

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