Una, ninguna o infinitas: clasificar sistemas 3×3

Antes de empezar: Eliminación equivalente y terna ordenada.

Al terminar: Interpreta contradicciones, variables libres y parámetros sin confundir una identidad con ausencia de restricciones.

Recupera las bases: Eliminación y comprobación

Lee las filas, no solo cuántas quedan

Una fila con todos los coeficientes nulos y término independiente distinto de cero exige una igualdad imposible. Una fila completamente nula expresa una identidad y no aporta restricción nueva. Borrar una identidad no autoriza a borrar las otras ecuaciones.

0 x + 0 y + 0 z = 1

0 x + 0 y + 0 z = 0

Pivotes y variables libres

En un sistema consistente, tres pivotes dan una terna única; dos dejan una variable libre; uno deja dos. Sin pivotes ni contradicciones, toda terna real es solución. Este conteo se aplica después de eliminar: contar ecuaciones originales no distingue información repetida. El número de pivotes es el rango de los coeficientes.

Una parametrización describe todas las soluciones

Si quedan $y = 2$ y $x + z = 4,$ elige $z = t$ . Entonces $x = 4 - t$ y las soluciones son $(4 - t, 2, t),$ para todo t real. Dar dos ternas solo proporciona ejemplos. Para probar que la familia está completa, verifica tanto que cada t produce una solución como que cualquier solución puede escribirse tomando t igual a su coordenada z.

(x, y, z) = (4 - t, 2, t)

Un parámetro puede cambiar la clasificación

Considera $x + y + z = 6, x - y + z = 2$ y $2 x + a z = b$ . Las primeras dos ecuaciones fijan $y = 2$ y $x + z = 4$ . La tercera se reduce $a (a - 2) z = b - 8$ . Si $a \neq 2$ hay una solución única. Si $a = 2$ y $b = 8$ hay infinitas; si $a = 2$ y $b \neq 8$ no hay ninguna. No dividas entre a−2 antes de separar esos casos.

(a - 2) z = b - 8

Lo que muestra la figura y lo que demuestra el álgebra

El modelo representa un corte en el plano $y = 2$ : las coordenadas del gráfico son x y z, no x e y. Allí se ven las condiciones $x + z = 4$ y $2 x + a z = b$ . Una intersección representa una terna, rectas coincidentes una familia y paralelas distintas incompatibilidad. Fuera de esta familia, dos planos pueden cortarse aunque los tres no tengan punto común: la intersección debe ser simultánea.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Decide si existe alguna solución. Identifica una contradicción obtenida mediante una operación reversible.

x + y + z = 1

2 x + 2 y + 2 z = 3

y - z = 0

Respuesta: Ninguna solución.

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Restar dos veces la primera fila a la segunda exige $0 = 1$ ; ninguna terna puede satisfacerlo.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Ejemplo resuelto 2

Resuelve y clasifica. Explica qué cambia frente a una tercera ecuación que fuera combinación de las dos primeras.

x + y + z = 1

x - y + z = - 1

2 x + 3 z = 2

Respuesta: Única: (-2, 1, 2).

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-2, 1, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 1, -1, 2, exactamente sus términos independientes.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Ejemplo resuelto 3

Conserva las dos primeras ecuaciones y sustituye la tercera por $2 x + a z = 0$ . Clasifica para todos los valores reales de a; la tercera fila mostrada corresponde al caso $a = 2$ .

x + y + z = 1

x - y + z = - 1

2 x + 2 z = 0

Respuesta: Si $a \neq 2$ : única (0,1,0). Si $a = 2$ : infinitas $(0 - t, 1, t)$ . Nunca es incompatible.

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Al restar dos veces $x + z = k - 1$ de la tercera relación queda $(a - 2) z = 0$ . Separa $a = 2$ antes de dividir. Si $a \neq 2, z = 0$ ; si $a = 2, z$ es libre.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Ver las matrices de cada paso

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \end{matrix}]

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Error frecuente: Concluir que $0 = 0$ significa que todo el espacio es solución, o presentar una terna aislada cuando queda una variable libre.

Explorador: observa, predice y comprueba

Corte del espacio en $y = 2$ . El eje horizontal es x y el vertical es z. Se comparan $x + z = 4$ y $2 x + a z = b$ .

Coeficiente a3Término b10

Verde continuo $: x + z = 4$ . Naranja discontinuo $: 2 x + a z = b$ . Los colores se acompañan de estilos de línea.

a=3b=10:(x,y,z)=(2,2,2)a=2b=8:(4−t,2,t)a=2b=9

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Clasifica el sistema. ¿La fila nula significa que cualquier terna es solución? Describe el conjunto completo.

x + y + z = 4

2 x + 2 y + 2 z = 8

0 = 0

x + y + z = 3

2 x + 2 y + 2 z = 6

0 = 0

x + y + z = 2

2 x + 2 y + 2 z = 4

0 = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (2 - s - t, s, t),$ con s y t reales.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Queda una condición independiente y dos variables libres. La identidad no borra la ecuación que permanece.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Clasifica el sistema. ¿La fila nula significa que cualquier terna es solución? Describe el conjunto completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (3 - s - t, s, t),$ con s y t reales.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Queda una condición independiente y dos variables libres. La identidad no borra la ecuación que permanece.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Clasifica el sistema. ¿La fila nula significa que cualquier terna es solución? Describe el conjunto completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (4 - s - t, s, t),$ con s y t reales.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Queda una condición independiente y dos variables libres. La identidad no borra la ecuación que permanece.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Decide si existe alguna solución. Identifica una contradicción obtenida mediante una operación reversible.

x + y + z = 4

2 x + 2 y + 2 z = 9

y - z = 0

x + y + z = 3

2 x + 2 y + 2 z = 7

y - z = 0

x + y + z = 2

2 x + 2 y + 2 z = 5

y - z = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Ninguna solución.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Restar dos veces la primera fila a la segunda exige $0 = 1$ ; ninguna terna puede satisfacerlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Decide si existe alguna solución. Identifica una contradicción obtenida mediante una operación reversible.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Ninguna solución.

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Restar dos veces la primera fila a la segunda exige $0 = 1$ ; ninguna terna puede satisfacerlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Decide si existe alguna solución. Identifica una contradicción obtenida mediante una operación reversible.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Ninguna solución.

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Intercambia F2 y F3.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Restar dos veces la primera fila a la segunda exige $0 = 1$ ; ninguna terna puede satisfacerlo.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Encuentra todas las soluciones, usando $z = t$ . Da dos ternas distintas que las ejemplifiquen.

x + y + z = 4

x - y + z = 2

2 x + 2 z = 6

x + y + z = 3

x - y + z = 1

2 x + 2 z = 4

x + y + z = 2

x - y + z = 0

2 x + 2 z = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (1 - t, 1, t),$ con t real.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La segunda coordenada es 1 y $x + z = 1$ . Tomar $t = 0$ y $t = 1$ da dos ejemplos, pero la parametrización describe toda la recta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Encuentra todas las soluciones, usando $z = t$ . Da dos ternas distintas que las ejemplifiquen.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (2 - t, 1, t),$ con t real.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La segunda coordenada es 1 y $x + z = 2$ . Tomar $t = 0$ y $t = 1$ da dos ejemplos, pero la parametrización describe toda la recta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Encuentra todas las soluciones, usando $z = t$ . Da dos ternas distintas que las ejemplifiquen.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Infinitas $: (x, y, z) = (3 - t, 1, t),$ con t real.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La segunda coordenada es 1 y $x + z = 3$ . Tomar $t = 0$ y $t = 1$ da dos ejemplos, pero la parametrización describe toda la recta.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve y clasifica. Explica qué cambia frente a una tercera ecuación que fuera combinación de las dos primeras.

x + y + z = 4

x - y + z = 2

2 x + 3 z = 8

x + y + z = 3

x - y + z = 1

2 x + 3 z = 6

x + y + z = 2

x - y + z = 0

2 x + 3 z = 4

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Única: (-1, 1, 2).

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (-1, 1, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 2, 0, 4, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve y clasifica. Explica qué cambia frente a una tercera ecuación que fuera combinación de las dos primeras.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Única: (0, 1, 2).

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (0, 1, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 3, 1, 6, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve y clasifica. Explica qué cambia frente a una tercera ecuación que fuera combinación de las dos primeras.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Única: (1, 1, 2).

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F3. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
La terna es (1, 1, 2).
Sustituye en las tres filas originales: los miembros izquierdos resultan 4, 2, 8, exactamente sus términos independientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Conserva las dos primeras ecuaciones y sustituye la tercera por $2 x + a z = 2$ . Clasifica para todos los valores reales de a; la tercera fila mostrada corresponde al caso $a = 2$ .

x + y + z = 2

x - y + z = 0

2 x + 2 z = 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Si $a \neq 2$ : única (1,1,0). Si $a = 2$ : infinitas $(1 - t, 1, t)$ . Nunca es incompatible.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Al restar dos veces $x + z = k - 1$ de la tercera relación queda $(a - 2) z = 0$ . Separa $a = 2$ antes de dividir. Si $a \neq 2, z = 0$ ; si $a = 2, z$ es libre.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Conserva las dos primeras ecuaciones y sustituye la tercera por $2 x + a z = 4$ . Clasifica para todos los valores reales de a; la tercera fila mostrada corresponde al caso $a = 2$ .

x + y + z = 3

x - y + z = 1

2 x + 2 z = 4

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Si $a \neq 2$ : única (2,1,0). Si $a = 2$ : infinitas $(2 - t, 1, t)$ . Nunca es incompatible.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Al restar dos veces $x + z = k - 1$ de la tercera relación queda $(a - 2) z = 0$ . Separa $a = 2$ antes de dividir. Si $a \neq 2, z = 0$ ; si $a = 2, z$ es libre.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Conserva las dos primeras ecuaciones y sustituye la tercera por $2 x + a z = 6$ . Clasifica para todos los valores reales de a; la tercera fila mostrada corresponde al caso $a = 2$ .

x + y + z = 4

x - y + z = 2

2 x + 2 z = 6

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Conserva las tres condiciones. Una operación de fila afecta también al término independiente.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Si $a \neq 2$ : única (3,1,0). Si $a = 2$ : infinitas $(3 - t, 1, t)$ . Nunca es incompatible.

Matriz reducida equivalente (última columna: término independiente):

[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Escribe las columnas en el orden x, y, z y término independiente.
Reemplaza F2 por F2 menos (1) veces F1. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (2) veces F1. Conserva las otras filas.
Divide toda F2, incluido el término independiente, entre -2.
Reemplaza F1 por F1 menos (1) veces F2. Conserva las otras filas.
Reemplaza F3 por F3 menos (-2) veces F2. Conserva las otras filas.
La matriz reducida que se muestra permite leer las restricciones independientes.
Al restar dos veces $x + z = k - 1$ de la tercera relación queda $(a - 2) z = 0$ . Separa $a = 2$ antes de dividir. Si $a \neq 2, z = 0$ ; si $a = 2, z$ es libre.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Escribe una familia con dos parámetros que describa $x + y + z = 5$ y justifica que no excluye ninguna terna.

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Conceptos a mano

Intersección

Conjunto de elementos que pertenecen a todos los conjuntos considerados. En un sistema deben cumplirse todas las condiciones.