Antes de empezar: Factor común, conjugados y multiplicación de polinomios.
Al terminar: Combina agrupación, cambio de signos e identidades cúbicas.
El factor común puede ser un binomio
En ax+ay+bx+by, agrupa a(x+y)+b(x+y). La misma distributiva permite extraer (x+y). Si las agrupaciones producen binomios opuestos, usa u−v=−(v−u) para igualarlos. No alteres un signo sin compensarlo.
Reordenar con un propósito
La suma es conmutativa: se pueden reordenar términos conservando su signo. Busca parejas que compartan factores. Por ejemplo x³−2x²−9x+18=x²(x−2)−9(x−2). Tras agrupar, todavía queda x²−9 por factorizar. No toda expresión de cuatro términos admite esta estructura.
Suma y diferencia de cubos
Al expandir la primera fórmula, −u²v y +u²v se cancelan, igual que +uv² y −uv². En la segunda ocurre lo mismo con los signos correspondientes. Es distinto de elevar un binomio al cubo: (u+v)³ contiene 3u²v y 3uv².
Por qué no aparecen más raíces reales
Para v≠0, u²−uv+v²=(u−v/2)²+3v²/4 es positivo; también u²+uv+v²=(u+v/2)²+3v²/4. Por eso una suma o diferencia de cubos igualada a cero tiene una única raíz real cuando una de sus bases es una constante real no nula. Si v=0, el cuadrático u² sí puede ser cero.
Del modelo a la demostración
El explorador muestra los coeficientes de un producto de polinomios. Cada columna reúne términos de la misma potencia; las columnas intermedias se anulan. Verificar un valor de x es una comprobación puntual. Verificar todos los coeficientes demuestra la identidad polinómica.
Ejemplos resueltos
Un signo que organiza
Factoriza 3x²−6x−5x+10.
- 3x(x−2)−5(x−2).
- Extrae x−2: (3x−5)(x−2).
- Comprueba 3x²−6x−5x+10=3x²−11x+10.
Cubo con factor previo
Factoriza 2x³−54.
- Extrae 2: 2(x³−27).
- x³−3³=(x−3)(x²+3x+9).
- El factor cuadrático es (x+3/2)²+27/4>0, así que no se factoriza linealmente sobre los reales.
Error frecuente: Confundir x³+y³ con (x+y)³ o escribir mal el signo del término mixto.
Los términos que desaparecen
(x+v)(x²−vx+v²)=x³+v³. Los coeficientes de x² y x se anulan por pares.
(x+v)(x²−vx+v²)=x³+v³. Los coeficientes de x² y x se anulan por pares.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Factoriza xy+2x+2y+4.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+2)(y+2)
- Agrupa x(y+2)+2(y+2).
- El binomio compartido es y+2.
- Extraerlo da (x+2)(y+2).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Factoriza xy+3x+2y+6.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+2)(y+3)
- Agrupa x(y+3)+2(y+3).
- El binomio compartido es y+3.
- Extraerlo da (x+2)(y+3).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Factoriza xy+4x+2y+8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+2)(y+4)
- Agrupa x(y+4)+2(y+4).
- El binomio compartido es y+4.
- Extraerlo da (x+2)(y+4).
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Factoriza x³−2x²−4x+8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−2)(x−2)(x+2)
- x²(x−2)−4(x−2)=(x−2)(x²−4).
- Aplica diferencia de cuadrados al segundo factor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Factoriza x³−3x²−4x+12.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−3)(x−2)(x+2)
- x²(x−3)−4(x−3)=(x−3)(x²−4).
- Aplica diferencia de cuadrados al segundo factor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Factoriza x³−4x²−4x+16.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x−4)(x−2)(x+2)
- x²(x−4)−4(x−4)=(x−4)(x²−4).
- Aplica diferencia de cuadrados al segundo factor.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Factoriza sobre los racionales x³+8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+2)(x²−2x+4)
- Es x³+2³.
- Usa suma de cubos: (u+v)(u²−uv+v²).
- Los términos x² y x se cancelan al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Factoriza sobre los racionales x³+27.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+3)(x²−3x+9)
- Es x³+3³.
- Usa suma de cubos: (u+v)(u²−uv+v²).
- Los términos x² y x se cancelan al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Factoriza sobre los racionales x³+64.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (x+4)(x²−4x+16)
- Es x³+4³.
- Usa suma de cubos: (u+v)(u²−uv+v²).
- Los términos x² y x se cancelan al expandir.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Factoriza sobre los racionales 8x³−8.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x−2)(4x²+4x+4)
- 8x³=(2x)³.
- Usa diferencia de cubos con u=2x y v=2.
- El factor cuadrático tiene signos positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Factoriza sobre los racionales 8x³−27.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x−3)(4x²+6x+9)
- 8x³=(2x)³.
- Usa diferencia de cubos con u=2x y v=3.
- El factor cuadrático tiene signos positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Factoriza sobre los racionales 8x³−64.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: (2x−4)(4x²+8x+16)
- 8x³=(2x)³.
- Usa diferencia de cubos con u=2x y v=4.
- El factor cuadrático tiene signos positivos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Resuelve en los reales x³+8=0. Explica por qué el factor cuadrático no aporta raíces reales.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Completa el cuadrado en el factor cuadrático.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -2
- (x+2)(x²−2x+4)=0.
- El segundo factor es (x−1)²+3, siempre positivo.
- Solo x+2=0; x=−2.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Resuelve en los reales x³+27=0. Explica por qué el factor cuadrático no aporta raíces reales.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Completa el cuadrado en el factor cuadrático.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -3
- (x+3)(x²−3x+9)=0.
- El segundo factor es (x−3/2)²+27/4, siempre positivo.
- Solo x+3=0; x=−3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Resuelve en los reales x³+64=0. Explica por qué el factor cuadrático no aporta raíces reales.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Completa el cuadrado en el factor cuadrático.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: -4
- (x+4)(x²−4x+16)=0.
- El segundo factor es (x−2)²+12, siempre positivo.
- Solo x+4=0; x=−4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué extraer un factor negativo puede permitir una agrupación que antes no era visible?
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