EATRYL
Rutas / Productos notables · Unidad 3.5
LECCIÓN 08 / ÁLGEBRA

Extensión: suma y diferencia de cubos

Relaciona cada coeficiente y signo con la distributiva.

  • Relaciona cada coeficiente y signo con la distributiva.
  • Comprueba la identidad y explica el patrón utilizado.

Antes de empezar: Productos notables, factorización, operaciones con signos y leyes de exponentes de las partes anteriores.

Reconocer dos cubos perfectos

x3+8 es suma de los cubos de x y 2. En 8x3−27y3, las bases son 2x y 3y. Identifica primero las bases; elevarlas al cubo debe recuperar exactamente los dos términos.

Suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2). Al distribuir aparecen a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3. Los términos mixtos se cancelan. El signo del binomio es positivo y el término central del trinomio es negativo.

Diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). El término central del factor cuadrático es positivo. Multiplica para verificar la cancelación; no uses la identidad de diferencia de cuadrados, porque aquí el exponente es 3.

Un ejemplo con coeficientes

8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9). Los cuadrados de las bases son 4x² y 9, y su producto es 6x. Comprobar solo el primer y el último término no basta: los términos mixtos deben cancelarse.

Distinguir cubo de binomio y suma de cubos

(x+2)3=x3+6x2+12x+8 tiene términos mixtos. En cambio, x3+8=(x+2)(x2−2x+4). Son expresiones distintas y requieren procedimientos distintos.

Qué forma de respuesta se solicita

Presenta el producto de un factor lineal y uno cuadrático con coeficientes enteros. Repetir los dos cubos o escribir 1 multiplicado por ellos no es factorizar. El orden de los factores puede cambiar; extraer un signo de ambos también conserva el producto. Estas identidades no afirman que la expresión sea igual a cero.

Extensión: suma y diferencia de cubosEn a³+b³, los términos mixtos de (a+b)(a²−ab+b²) se cancelan.x³+8factoriza(x+2)(x²−2x+4)los productos mixtos se cancelan
En a³+b³, los términos mixtos de (a+b)(a²−ab+b²) se cancelan.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar, termina las operaciones. Cuando se pida factorizar, presenta el producto completo indicado: repetir el polinomio no cumple la consigna.

PN8-1Factoriza x3+8 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-2Factoriza x3-27 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-3Factoriza 8x3+1 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-4Factoriza a3+b3 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-5Factoriza a3-b3 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-6Factoriza 8x3-27y3 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

PN8-7Factoriza 27x3+8 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-8Factoriza x3-64 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN8-9Factoriza x3+8y3 usando la identidad de suma o diferencia de cubos, con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Explícalo con tus palabras

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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Práctica a tu ritmo

Amplía la práctica: ejercicios 10–15

La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Factoriza x³−8.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−2)(x²+2x+4)

  1. Aplica a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Factoriza x³−27.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−3)(x²+3x+9)

  1. Aplica a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Factoriza x³−64.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−4)(x²+4x+16)

  1. Aplica a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Corrige x³+8=(x+2)(x²+2x+4).

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x+2)(x²−2x+4)

  1. En la suma de cubos el término intermedio del factor cuadrático es negativo; verifica por expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Corrige x³+27=(x+3)(x²+3x+9).

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x+3)(x²−3x+9)

  1. En la suma de cubos el término intermedio del factor cuadrático es negativo; verifica por expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Corrige x³+64=(x+4)(x²+4x+16).

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x+4)(x²−4x+16)

  1. En la suma de cubos el término intermedio del factor cuadrático es negativo; verifica por expansión.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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