Extensión: triángulo de Pascal

Relaciona cada coeficiente y signo con la distributiva.
Comprueba la identidad y explica el patrón utilizado.

Antes de empezar: Productos notables, factorización, operaciones con signos y leyes de exponentes de las partes anteriores.

Construir el triángulo

Numera las filas desde cero. La fila 0 contiene 1; la fila 1 contiene 1,1; la fila 2 contiene 1,2,1; la fila 3 contiene 1,3,3,1. Cada fila empieza y termina en 1. Cada entrada interior es la suma de las dos que tiene encima.

Por qué sirve para potencias de un binomio

Al multiplicar un desarrollo por $a + b$ , cada término aporta a dos posiciones de la fila siguiente. Por eso se suman los coeficientes vecinos. La fila 4 es 1,4,6,4,1 y da ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ .

Ordenar exponentes sin perder términos

En la potencia n, el exponente de la primera base baja desde n hasta 0 y el de la segunda sube desde 0 hasta n. Cada pareja suma n; hay n+1 posiciones antes de simplificar. Para ${(x + 1)}^{5}$ , la fila 5 produce $x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1$ .

Los signos pertenecen a las bases

El triángulo contiene coeficientes positivos. En ${(x - 1)}^{4}$ , las potencias de −1 alternan los signos: $x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ . El hecho de que la potencia total sea par no vuelve positivos todos los términos.

Coeficientes numéricos y término cero

${(x + 2)}^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ . Multiplica cada entrada de Pascal por la potencia correspondiente de 2. Si el segundo término es cero, las contribuciones con ese factor desaparecen y queda ${(x + 0)}^{4} = x^{4}$ . La fila 0 inicia la construcción; el modelo desarrolla potencias de 1 a 6 y no evalúa $0^{0}$ .

Alcance de esta extensión

La misma construcción permite seguir a potencias mayores, pero aquí practicamos hasta la sexta para concentrarnos en el razonamiento. Los coeficientes binomiales y su interpretación combinatoria se estudiarán con más profundidad en otra unidad. Comprueba este método multiplicando desarrollos de potencias pequeñas.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar, termina las operaciones. Cuando se pida factorizar, presenta el producto completo indicado: repetir el polinomio no cumple la consigna.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

Explícalo con tus palabras

¿Cómo explicarías el origen de los coeficientes y los signos sin limitarte a memorizar una fórmula?

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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