Extensión: cubos de binomios

Relaciona cada coeficiente y signo con la distributiva.
Comprueba la identidad y explica el patrón utilizado.

Antes de empezar: Productos notables, factorización, operaciones con signos y leyes de exponentes de las partes anteriores.

Tres factores, no dos cubos separados

Elevar una suma al cubo significa multiplicar tres veces el binomio: ${(a + b)}^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$ . No es $a^{3} + b^{3}$ . Por ejemplo, ${(1 + 2)}^{3} = 27$ , mientras que $1^{3} + 2^{3} = 9$ .

De dónde salen los coeficientes 1, 3, 3, 1

Multiplica ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ por $a + b$ . Aparecen $a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$ . Al reunir términos semejantes obtienes ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Hay tres maneras de elegir b una vez y tres de elegirlo dos veces.

El cubo de una diferencia

Sustituye b por −b en la identidad: ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ . Los signos alternan porque las potencias impares de −b son negativas y las pares positivas. El tercer término es positivo, aunque el binomio tenga una resta.

Los coeficientes también se elevan

En ${(2 x + 3)}^{3}$ , las bases son 2x y 3. Resulta ${(2 x + 3)}^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$ . Los términos centrales son $3 {(2 x)}^{2} (3) = 36 x^{2}$ y $3 (2 x) {(3)}^{2} = 54 x$ . No basta copiar los números 1,3,3,1 como coeficientes finales.

Dos variables y grado de cada término

${(x - 2 y)}^{3} = x^{3} - 6 x^{2} y + 12 x y^{2} - 8 y^{3}$ . La suma de exponentes de x e y vale 3 en cada término. Este control detecta errores como escribir xy donde se necesita xy².

Comprobar y explicar

El modelo multiplica un cuadrado por el binomio y muestra seis productos antes de reducirlos a cuatro términos. Comprueba mediante distributiva y usa valores sencillos para detectar errores adicionales. Una coincidencia numérica aislada no demuestra una identidad.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar, termina las operaciones. Cuando se pida factorizar, presenta el producto completo indicado: repetir el polinomio no cumple la consigna.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

Explícalo con tus palabras

¿Cómo explicarías el origen de los coeficientes y los signos sin limitarte a memorizar una fórmula?

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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