EATRYL
Rutas / Productos notables · Unidad 3.5
LECCIÓN 05 / ÁLGEBRA

Factorizar por agrupación

Reconoce el patrón y construye una factorización completa.

  • Reconoce el patrón y construye una factorización completa.
  • Comprueba cada coeficiente al desarrollar los factores.

Antes de empezar: Factor común, distributiva, signos y los tres temas de la parte anterior.

Agrupar hace visible un factor

ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y). El paréntesis x+y aparece en ambos grupos; se trata como un factor completo: (a+b)(x+y). Extraer los factores de cada grupo es un paso intermedio, no el final.

Agrupar cuatro términos de un producto

2x2+6x+5x+15=2x(x+3)+5(x+3)=(2x+5)(x+3). La suma de los términos centrales es 11x. Esta técnica permite factorizar el trinomio 2x2+11x+15 después de separar su término central.

Un factor negativo alinea paréntesis

3x2−6x−4x+8=3x(x−2)−4(x−2)=(3x−4)(x−2). En el segundo grupo, −4x+8=−4(x−2). Extraer −4 sin cambiar el signo de ambos cocientes arruina la identidad.

El orden puede ayudar

En ax+by+ay+bx, reordena para formar ax+ay+bx+by. La conmutatividad y la asociatividad de la suma permiten agrupar. Conserva cada término con su signo: reordenar no cambia el polinomio.

No todo agrupamiento funciona

Si obtienes paréntesis distintos, busca otra agrupación o comprueba si realmente existe el patrón. Por ejemplo, de x2+2x+3x+7 sale x(x+2)+3x+7; no puedes cambiar 7 por 6 para obtener el paréntesis deseado. Factorizar debe conservar exactamente la expresión.

Comprueba distribuyendo dos veces

De (a+b)(x+y), distribuye primero cada término del primer factor y después sobre x e y: recuperas ax, ay, bx y by. En expresiones con letras distintas, no sumes ax y ay como si fueran términos semejantes. El modelo muestra las cuatro contribuciones del producto.

Factorizar por agrupaciónLos pares 2x(x+3) y 5(x+3) comparten el factor x+3.2x(x+3)5(x+3)factor común(2x+5)(x+3)
Los pares 2x(x+3) y 5(x+3) comparten el factor x+3.

Predice y explora

Elige los datos, anticipa la cantidad solicitada y después revela el modelo. Cambiar los datos inicia una nueva predicción.

Práctica con apoyo

En respuestas numéricas escribe un número o fracción exacta. En respuestas algebraicas puedes usar 2x, x^2, x², (x+1)(x+2) y x/2. Letras admitidas: x, y, a, b, n. No escribas el signo igual. Cuando se pida desarrollar, termina las operaciones. Cuando se pida factorizar, presenta el producto completo indicado: repetir el polinomio no cumple la consigna.

PN5-1Factoriza completamente ax+ay+bx+by como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-2Factoriza completamente 2x2+6x+5x+15 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-3Factoriza completamente 3x2-6x-4x+8 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-4Factoriza completamente ax-ay+bx-by como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-5Factoriza completamente xy+3x+2y+6 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-6Factoriza completamente 2xy-4x+3y-6 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Comprueba qué resuelves por tu cuenta

Intenta las tres tareas sin consultar ayuda. Una respuesta numérica correcta debe acompañarse de una explicación coherente.

PN5-7Factoriza completamente 4x2+8x-3x-6 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-8Factoriza completamente ax+by+ay+bx como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

PN5-9Factoriza completamente 6xy-9x-4y+6 como producto de factores lineales con coeficientes enteros.

Escribe la factorización completa solicitada, con coeficientes enteros. Usa ^ para potencias; solo se admiten divisores numéricos distintos de cero.

Cómo revisar tu razonamiento
  • Define las letras, sus valores permitidos y lo que se solicita.
  • Justifica cada transformación con una propiedad y conserva signos.
  • Comprueba con la relación original o una estimación; incluye unidades.

Las explicaciones se revisan con estos criterios; no se califican automáticamente.

Explícalo con tus palabras

Se guarda mientras escribes. Revísalo con tu profesor o contrástalo con los ejemplos.

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Práctica a tu ritmo

Amplía la práctica: ejercicios 10–15

La lección reúne 15 ejercicios: 6 de práctica, 3 de salida y estos 6 retos de aplicación y justificación. El progreso de estos retos se registra por separado del motor de la lección.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Factoriza ax+2a+bx+2b.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (a+b)(x+2)

  1. Agrupa a(x+k)+b(x+k); extrae el binomio común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Factoriza ax+3a+bx+3b.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (a+b)(x+3)

  1. Agrupa a(x+k)+b(x+k); extrae el binomio común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Factoriza ax+4a+bx+4b.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (a+b)(x+4)

  1. Agrupa a(x+k)+b(x+k); extrae el binomio común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

¿ax+2a+bx−2b se factoriza como (a+b)(x+2)?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No

  1. La expansión propuesta termina en +2b, pero el original tiene signo negativo.
  2. Puede escribirse a(x+k)+b(x−k), sin ese factor binomial común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

¿ax+3a+bx−3b se factoriza como (a+b)(x+3)?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No

  1. La expansión propuesta termina en +3b, pero el original tiene signo negativo.
  2. Puede escribirse a(x+k)+b(x−k), sin ese factor binomial común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

¿ax+4a+bx−4b se factoriza como (a+b)(x+4)?

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Escribe los datos y la relación antes de operar.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: No

  1. La expansión propuesta termina en +4b, pero el original tiene signo negativo.
  2. Puede escribirse a(x+k)+b(x−k), sin ese factor binomial común.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

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