Factorización por bloques: ver la estructura antes de expandir

Antes de empezar: Factor común, cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y producto nulo.

Al terminar: Reconoce expresiones compuestas, aplica productos notables y recupera todas las soluciones al cambiar de variable.

Recupera las bases: Productos y factores · Cambios de variable en ecuaciones

Una expresión completa puede actuar como una pieza

En (x+2)(x+1)+(x+2)(x+3), el factor que se repite es x+2 completo. Puedes imaginar dos grupos que contienen esa misma pieza. La distributiva permite reunirlos como (x+2)[(x+1)+(x+3)]. Expandir todo desde el inicio es válido, pero puede ocultar la estructura que hace breve la factorización.

A B + A C = A (B + C)

Extraer un factor no es cancelar sumandos

Los factores son piezas de un producto; los sumandos son piezas de una suma. En AB+AC, A es factor de cada sumando. La igualdad AB+AC $= A (B + C)$ sigue siendo válida si $A = 0$ . No estamos dividiendo ambos lados de una ecuación entre A. En cambio, borrar A de AB+C sería incorrecto si C no contiene ese factor. Después de extraer un bloque, revisa si queda otro factor común.

Productos notables con letras que contienen expresiones

Las identidades $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ y $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ no exigen que A y B sean letras aisladas. Puedes usar $A = x + 2$ y $B = 3$ . En el primer caso obtienes ${(x + 2)}^{2} - 9 = (x - 1) (x + 5)$ . La identidad vale para todo x real; si preguntas cuándo vale cero, entonces resuelves una ecuación y obtienes $x = 1$ o $x = - 5$ .

{(x + 2)}^{2} - 9 = (x - 1) (x + 5)

La variable auxiliar reduce la carga de escritura

Para factorizar ${(x + 4)}^{2} - 3 (x + 4) + 2,$ define $t = x + 4$ y trabaja con $t^{2} - 3 t + 2$ . El resultado (t−1)(t−2) debe traducirse de vuelta: (x+3)(x+2). Dejar la respuesta solo en t no responde todavía a la expresión original. El bloque debe ser exactamente el mismo en cada aparición; x+4 y x−4 no pueden reemplazarse ambos por t.

Un cambio de variable puede imponer restricciones

Si $t = x + 4$ y trabajas en los reales, t puede ser cualquier real y cada t determina un único x. Si $t = x^{2},$ entonces $t \geq 0$ y un t positivo corresponde a dos valores de x. Un valor negativo de t no da ninguna raíz real. Resolver en la variable auxiliar es una etapa intermedia: recupera todos los valores originales y descarta únicamente los que realmente queden fuera del dominio.

Del patrón a la gráfica

Para $f (x) = {(x + h)}^{2} - a^{2}$ con $a > 0,$ la factorización es (x+h−a)(x+h+a). Sus ceros son −h+a y −h−a. El punto medio de esas raíces es −h y su separación es 2a. La gráfica es una parábola cuyo vértice es $(- h, - a^{2})$ . Cambiar h desplaza horizontalmente el eje de simetría; cambiar a modifica el mínimo y la distancia entre las raíces. El explorador muestra estos cambios con valores exactos.

Comprobar una identidad y comprobar una solución

Para demostrar una factorización, expande el producto y compara todos sus coeficientes con la expresión original. Probar algunos valores puede descubrir errores, pero no constituye por sí solo una demostración general. Para una ecuación, sustituye cada raíz y justifica que tus transformaciones contemplaron todas las posibilidades. La propiedad del producto nulo solo se aplica cuando el producto está igualado a cero.

Desafío: un bloque que ya contiene un cuadrado

En ${(x^{2} - 1)}^{2} - 4 = 0,$ la diferencia de cuadrados da $(x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$ . La primera rama tiene $x = \pm \sqrt{3}$ . La segunda exigiría $x^{2} = - 1,$ que no tiene solución real. No confundas la factorización polinómica, válida para todo real, con la existencia de ceros reales de cada factor.

{(x^{2} - 1)}^{2} - 4 = (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Factoriza completamente sin expandir primero todos los productos. Identifica el bloque común.

(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (x + 3)

Respuesta: 2(x+1)(x+2).

El bloque x+1 multiplica ambos sumandos. Extraerlo es aplicar la distributiva en sentido inverso.
Queda $(x + 1) [(x + 1) + (x + 3)] = (x + 1) (2 x + 4)$ .
Extrae además el factor 2: 2(x+1)(x+2). La identidad también vale cuando $x + 1 = 0$ ; no has dividido una ecuación por ese bloque.

2 (x + 1) (x + 2)

Ejemplo resuelto 2

Reconoce una diferencia de cuadrados cuyo primer cuadrado contiene un binomio completo.

{(x + 1)}^{2} - 4

Respuesta: (x−1)(x+3).

Toma $A = x + 1$ y $B = 2$ . La expresión es $A^{2} - B^{2}$ .
Usa $(A - B) (A + B) : (x + 1 - 2) (x + 1 + 2)$ .
Simplifica dentro de cada factor: (x−1)(x+3). Comprueba por distributiva. No sustituyas $A^{2}$ por $x^{2} + 1$ : falta el doble producto.

(x - 1) (x + 3)

Ejemplo resuelto 3

Factoriza como cuadrado perfecto. Justifica el término central usando el bloque completo.

{(x + 1)}^{2} + 4 (x + 1) + 4

Respuesta: ${(x + 3)}^{2}$ .

Con $A = x + 1$ y $B = 2,$ el término central es 2AB $= 4 (x + 1)$ .
Aplica $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ .
Regresa $a x : {(x + 1 + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$ . Al expandir ambos lados coinciden los tres coeficientes.

{(x + 3)}^{2}

Ejemplo resuelto 4

Usa una variable auxiliar para factorizar el trinomio. Entrega la respuesta en x, no en la variable auxiliar.

{(x + 1)}^{2} - 3 (x + 1) + 2

Respuesta: $(x + 1 - 1) (x + 1 - 2),$ simplificando cada factor.

Llama $t = x + 1$ . Obtienes $t^{2} - 3 t + 2$ .
Busca dos números que sumen −3 y multipliquen 2: −1 y −2. Resulta (t−1)(t−2).
Reemplaza cada t por $x + 1 : (x + 1 - 1) (x + 1 - 2)$ . Simplifica y expande para comprobar. Cambiar el nombre del bloque no cambia el polinomio.

x (x - 1)

Ejemplo resuelto 5

Desafío de preparatoria: resuelve en los reales mediante diferencia de cuadrados y recupera todas las soluciones en x.

{(x^{2} - 1)}^{2} - 4 = 0

Respuesta: Soluciones reales $: \pm \sqrt{3}$ .

Toma $A = x^{2} - 1$ . Factorizar $A^{2} - 4 = 0$ da $(A - 2) (A + 2) = 0$ .
El producto nulo exige $A = 2$ o $A = - 2$ . Por tanto $, x^{2} = 3$ o $x^{2} = - 1$ .
El valor -1 es negativo y ningún cuadrado real lo alcanza. Conserva solo la otra rama.
Comprueba: para cada raíz admitida $, x^{2} - 1$ vale 2 o −2; al cuadrar se obtiene 4.

x = \pm \sqrt{3}

Error frecuente: Cambiar solo algunas apariciones del bloque, olvidar regresar a x o conservar un valor auxiliar que no puede provenir de un x real.

Explorador: un bloque, dos factores y dos raíces

Predice dónde estarán los ceros antes de mover los controles. La curva verde representa la función; los puntos ámbar son sus raíces.

f (x) = {(x + h)}^{2} - a^{2} = (x + h - a) (x + h + a)

Desplazamiento hSeparación media aPunto de prueba x

$h = 2, a = 3$ . Raíces −5 y 1. En $x = 0,$ ambas formas dan −5.

Ventana fija: x entre −9 y 9; altura entre −18 y 36. Los tramos que salen de ella continúan fuera del dibujo. El punto blanco marca la prueba cuando su altura cabe en la ventana. Las raíces exactas y los valores aparecen en el texto.

Desafíos guiados

Mantén $a = 3$ y aumenta h de 2 a 3. Predice hacia dónde se mueven ambas raíces.
Mantén $h = 2$ y cambia a de 1 a 4. ¿Qué permanece fijo entre las raíces?
Prueba una raíz. Explica por qué basta con que uno de los factores valga cero.

Orientación para comprobar

Al aumentar h en uno, las dos raíces disminuyen en uno. Su punto medio es −h. Al aumentar a, cada raíz se aleja del punto medio; la distancia entre ellas es 2a. En cualquier raíz, uno de los factores se anula y el producto vale cero.

Con

h = 2

a = 3 : {(x + 2)}^{2} - 9 = (x - 1) (x + 5)

. Las raíces son −5 y 1; el vértice es (−2,−9). En

x = 0

ambas formas dan −5.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Factoriza completamente sin expandir primero todos los productos. Identifica el bloque común.

(x + 4) (x + 1) + (x + 4) (x + 3)

(x + 3) (x + 1) + (x + 3) (x + 3)

(x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 3)

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x+2)(x+2).

2 (x + 2) (x + 2)

El bloque x+2 multiplica ambos sumandos. Extraerlo es aplicar la distributiva en sentido inverso.
Queda $(x + 2) [(x + 1) + (x + 3)] = (x + 2) (2 x + 4)$ .
Extrae además el factor 2: 2(x+2)(x+2). La identidad también vale cuando $x + 2 = 0$ ; no has dividido una ecuación por ese bloque.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Factoriza completamente sin expandir primero todos los productos. Identifica el bloque común.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x+3)(x+2).

2 (x + 3) (x + 2)

El bloque x+3 multiplica ambos sumandos. Extraerlo es aplicar la distributiva en sentido inverso.
Queda $(x + 3) [(x + 1) + (x + 3)] = (x + 3) (2 x + 4)$ .
Extrae además el factor 2: 2(x+3)(x+2). La identidad también vale cuando $x + 3 = 0$ ; no has dividido una ecuación por ese bloque.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Factoriza completamente sin expandir primero todos los productos. Identifica el bloque común.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: 2(x+4)(x+2).

2 (x + 4) (x + 2)

El bloque x+4 multiplica ambos sumandos. Extraerlo es aplicar la distributiva en sentido inverso.
Queda $(x + 4) [(x + 1) + (x + 3)] = (x + 4) (2 x + 4)$ .
Extrae además el factor 2: 2(x+4)(x+2). La identidad también vale cuando $x + 4 = 0$ ; no has dividido una ecuación por ese bloque.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Reconoce una diferencia de cuadrados cuyo primer cuadrado contiene un binomio completo.

{(x + 4)}^{2} - 25

{(x + 3)}^{2} - 16

{(x + 2)}^{2} - 9

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−1)(x+5).

(x - 1) (x + 5)

Toma $A = x + 2$ y $B = 3$ . La expresión es $A^{2} - B^{2}$ .
Usa $(A - B) (A + B) : (x + 2 - 3) (x + 2 + 3)$ .
Simplifica dentro de cada factor: (x−1)(x+5). Comprueba por distributiva. No sustituyas $A^{2}$ por $x^{2} + 4$ : falta el doble producto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Reconoce una diferencia de cuadrados cuyo primer cuadrado contiene un binomio completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−1)(x+7).

(x - 1) (x + 7)

Toma $A = x + 3$ y $B = 4$ . La expresión es $A^{2} - B^{2}$ .
Usa $(A - B) (A + B) : (x + 3 - 4) (x + 3 + 4)$ .
Simplifica dentro de cada factor: (x−1)(x+7). Comprueba por distributiva. No sustituyas $A^{2}$ por $x^{2} + 9$ : falta el doble producto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Reconoce una diferencia de cuadrados cuyo primer cuadrado contiene un binomio completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (x−1)(x+9).

(x - 1) (x + 9)

Toma $A = x + 4$ y $B = 5$ . La expresión es $A^{2} - B^{2}$ .
Usa $(A - B) (A + B) : (x + 4 - 5) (x + 4 + 5)$ .
Simplifica dentro de cada factor: (x−1)(x+9). Comprueba por distributiva. No sustituyas $A^{2}$ por $x^{2} + 16$ : falta el doble producto.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Factoriza como cuadrado perfecto. Justifica el término central usando el bloque completo.

{(x + 4)}^{2} + 10 (x + 4) + 25

{(x + 3)}^{2} + 8 (x + 3) + 16

{(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + 9

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${(x + 5)}^{2}$ .

{(x + 5)}^{2}

Con $A = x + 2$ y $B = 3,$ el término central es 2AB $= 6 (x + 2)$ .
Aplica $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ .
Regresa $a x : {(x + 2 + 3)}^{2} = {(x + 5)}^{2}$ . Al expandir ambos lados coinciden los tres coeficientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Factoriza como cuadrado perfecto. Justifica el término central usando el bloque completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${(x + 7)}^{2}$ .

{(x + 7)}^{2}

Con $A = x + 3$ y $B = 4,$ el término central es 2AB $= 8 (x + 3)$ .
Aplica $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ .
Regresa $a x : {(x + 3 + 4)}^{2} = {(x + 7)}^{2}$ . Al expandir ambos lados coinciden los tres coeficientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Factoriza como cuadrado perfecto. Justifica el término central usando el bloque completo.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: ${(x + 9)}^{2}$ .

{(x + 9)}^{2}

Con $A = x + 4$ y $B = 5,$ el término central es 2AB $= 10 (x + 4)$ .
Aplica $A^{2} + 2$ AB $+ B^{2} = {(A + B)}^{2}$ .
Regresa $a x : {(x + 4 + 5)}^{2} = {(x + 9)}^{2}$ . Al expandir ambos lados coinciden los tres coeficientes.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Usa una variable auxiliar para factorizar el trinomio. Entrega la respuesta en x, no en la variable auxiliar.

{(x + 4)}^{2} - 3 (x + 4) + 2

{(x + 3)}^{2} - 3 (x + 3) + 2

{(x + 2)}^{2} - 3 (x + 2) + 2

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(x + 2 - 1) (x + 2 - 2),$ simplificando cada factor.

(x + 1) x

Llama $t = x + 2$ . Obtienes $t^{2} - 3 t + 2$ .
Busca dos números que sumen −3 y multipliquen 2: −1 y −2. Resulta (t−1)(t−2).
Reemplaza cada t por $x + 2 : (x + 2 - 1) (x + 2 - 2)$ . Simplifica y expande para comprobar. Cambiar el nombre del bloque no cambia el polinomio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Usa una variable auxiliar para factorizar el trinomio. Entrega la respuesta en x, no en la variable auxiliar.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(x + 3 - 1) (x + 3 - 2),$ simplificando cada factor.

(x + 2) (x + 1)

Llama $t = x + 3$ . Obtienes $t^{2} - 3 t + 2$ .
Busca dos números que sumen −3 y multipliquen 2: −1 y −2. Resulta (t−1)(t−2).
Reemplaza cada t por $x + 3 : (x + 3 - 1) (x + 3 - 2)$ . Simplifica y expande para comprobar. Cambiar el nombre del bloque no cambia el polinomio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Usa una variable auxiliar para factorizar el trinomio. Entrega la respuesta en x, no en la variable auxiliar.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: $(x + 4 - 1) (x + 4 - 2),$ simplificando cada factor.

(x + 3) (x + 2)

Llama $t = x + 4$ . Obtienes $t^{2} - 3 t + 2$ .
Busca dos números que sumen −3 y multipliquen 2: −1 y −2. Resulta (t−1)(t−2).
Reemplaza cada t por $x + 4 : (x + 4 - 1) (x + 4 - 2)$ . Simplifica y expande para comprobar. Cambiar el nombre del bloque no cambia el polinomio.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Desafío de preparatoria: resuelve en los reales mediante diferencia de cuadrados y recupera todas las soluciones en x.

{(x^{2} - 16)}^{2} - 25 = 0

{(x^{2} - 9)}^{2} - 16 = 0

{(x^{2} - 4)}^{2} - 9 = 0

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Soluciones reales $: \pm \sqrt{7}, \pm \sqrt{1}$ .

x = \pm \sqrt{7} o x = \pm 1

Toma $A = x^{2} - 4$ . Factorizar $A^{2} - 9 = 0$ da $(A - 3) (A + 3) = 0$ .
El producto nulo exige $A = 3$ o $A = - 3$ . Por tanto $, x^{2} = 7$ o $x^{2} = 1$ .
Los dos valores son positivos. Cada uno da dos raíces reales opuestas; no olvides el signo negativo.
Comprueba: para cada raíz admitida $, x^{2} - 4$ vale 3 o −3; al cuadrar se obtiene 9.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Desafío de preparatoria: resuelve en los reales mediante diferencia de cuadrados y recupera todas las soluciones en x.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Soluciones reales $: \pm \sqrt{13}, \pm \sqrt{5}$ .

x = \pm \sqrt{13} o x = \pm \sqrt{5}

Toma $A = x^{2} - 9$ . Factorizar $A^{2} - 16 = 0$ da $(A - 4) (A + 4) = 0$ .
El producto nulo exige $A = 4$ o $A = - 4$ . Por tanto $, x^{2} = 13$ o $x^{2} = 5$ .
Los dos valores son positivos. Cada uno da dos raíces reales opuestas; no olvides el signo negativo.
Comprueba: para cada raíz admitida $, x^{2} - 9$ vale 4 o −4; al cuadrar se obtiene 16.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Desafío de preparatoria: resuelve en los reales mediante diferencia de cuadrados y recupera todas las soluciones en x.

Tu respuesta y, si hace falta, tu razonamiento

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Identifica el bloque, aplica una identidad, recupera la variable original y comprueba.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: Soluciones reales $: \pm \sqrt{21}, \pm \sqrt{11}$ .

x = \pm \sqrt{21} o x = \pm \sqrt{11}

Toma $A = x^{2} - 16$ . Factorizar $A^{2} - 25 = 0$ da $(A - 5) (A + 5) = 0$ .
El producto nulo exige $A = 5$ o $A = - 5$ . Por tanto $, x^{2} = 21$ o $x^{2} = 11$ .
Los dos valores son positivos. Cada uno da dos raíces reales opuestas; no olvides el signo negativo.
Comprueba: para cada raíz admitida $, x^{2} - 16$ vale 5 o −5; al cuadrar se obtiene 25.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

Compara $t = x + 4$ con $t = x^{2} . ¿$ Cuántos valores de x corresponden $a t = 9$ en cada caso? ¿Qué sucede con $t = - 1 ?$

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Conceptos a mano

Factor

Cada expresión que se multiplica para formar un producto. En 3(x+2), los factores indicados son 3 y x+2; los sumandos no se cancelan como factores.

Dominio

Conjunto de valores permitidos para las variables de una expresión, función o problema. Por ejemplo, un denominador no puede valer cero.