EATRYL
Preparatoria

Cocientes factorizados: signos y puntos prohibidos

Resuelve inecuaciones racionales conservando huecos, polos y restricciones originales.

Antes de empezar: Fracciones algebraicas, dominio e inecuaciones racionales.

Al terminar: Resuelve inecuaciones racionales conservando huecos, polos y restricciones originales.

Recupera las bases: Inecuaciones racionales · Dominio antes de simplificar

El dominio se registra primero

Una fracción no está definida en ningún cero de su denominador original. Anota esas exclusiones antes de cancelar. Un factor cancelado produce un hueco: aunque la expresión simplificada tenga valor allí, la original sigue sin tenerlo.

Signo de numerador y denominador

Un cociente es positivo si numerador y denominador tienen el mismo signo; es negativo si difieren. En cada intervalo puedes usar el signo de todos los factores, incluyendo los del denominador. Una potencia par en el denominador no cambia de signo al cruzar su raíz, pero esa raíz permanece prohibida.

Cancelar no recupera un punto

En (x−2)(x+1)(x−2)(x−1)≥0 puedes estudiar x+1x−1, conservando x≠1 y x≠2. El intervalo positivo a la derecha de 1 se parte en dos por el hueco en 2.

Comparar con una cota distinta de cero

Resta la cota y reúne en una sola fracción. Multiplicar por un denominador de signo desconocido sin separar casos no conserva automáticamente el sentido.

x+2x−2≤1⇔4x−2≤0

En el dominio x≠2, el numerador es positivo y el cociente es negativo exactamente cuando x<2. La igualdad no se alcanza.

Comprobar en la expresión original

Después de construir los intervalos, prueba valores y extremos en la inecuación original. Nunca marques cerrado un punto prohibido, aunque la comparación incluya igualdad. La misma tabla sirve para >,≥,<y≤; lo que cambia es el signo seleccionado y la aceptación de ceros admisibles.

Ejemplos resueltos

Caso resuelto 1

Resuelve (x−1)(x+1)≥0.

  1. Dominio: excluye −1.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 1.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es positivo.
  4. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es negativo.
  5. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, −1) ∪ [1, +∞).

Caso resuelto 2

Resuelve (x−1)2(x+1)≤0.

  1. Dominio: excluye −1.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 1.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  4. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es positivo.
  5. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−∞,−1)∪{1}.

Caso resuelto 3

Resuelve x+1x−1≤1.

  1. Resta 1 antes de hacer la tabla:x+1x−1−1=2x−1. No multipliques por x−1 sin conocer su signo.
  2. Dominio: excluye 1.
  3. Puntos críticos ordenados: 1.
  4. En (−∞, 1), prueba x=0: el signo es negativo.
  5. En (1, +∞), prueba x=2: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, 1).

Error frecuente: Cancelar factores y olvidar sus ceros, o multiplicar por un denominador variable sin controlar su signo.

Predice · Cambia · Justifica

Laboratorio de signos y extremos

Predice el signo antes de mover una raíz. Haz coincidir a y b: cancelar factores no recupera puntos prohibidos. La recta menta representa la solución, no la gráfica de la función.

(x−2)x(x+2)x≥0
−202
Tabla de signos
Intervalo(−∞, −2)(−2, 0)(0, 2)(2, +∞)
Punto de prueba−3−113
Coeficiente++++
N: (x−2)−−−+
N: x−−++
D: (x+2)−+++
D: x−−++
Signo total+−−+

S = (−∞, −2) ∪ [2, +∞)

N: numerador; D: denominador. Menta relleno: punto incluido. Menta vacío: extremo excluido. Naranja vacío: fuera del dominio. Las flechas continúan hasta infinito.

Práctica a tu ritmo

Ponlo a prueba: práctica progresiva

15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.

La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.

Nivel 1 · Reconocer

Ejercicio 1

Resuelve (x−2)(x+2)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −2) ∪ [2, +∞)

  1. Dominio: excluye −2.
  2. Puntos críticos ordenados: −2, 2.
  3. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es positivo.
  4. En (−2, 2), prueba x=0: el signo es negativo.
  5. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, −2) ∪ [2, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 2

Resuelve (x−3)(x+3)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −3) ∪ [3, +∞)

  1. Dominio: excluye −3.
  2. Puntos críticos ordenados: −3, 3.
  3. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es positivo.
  4. En (−3, 3), prueba x=0: el signo es negativo.
  5. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, −3) ∪ [3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 3

Resuelve (x−4)(x+4)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −4) ∪ [4, +∞)

  1. Dominio: excluye −4.
  2. Puntos críticos ordenados: −4, 4.
  3. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es positivo.
  4. En (−4, 4), prueba x=0: el signo es negativo.
  5. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, −4) ∪ [4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 2 · Aplicar el procedimiento

Ejercicio 4

Resuelve (x−2)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−1)∪{2}

  1. Dominio: excluye −1.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 2.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  4. En (−1, 2), prueba x=12: el signo es positivo.
  5. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−∞,−1)∪{2}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 5

Resuelve (x−3)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−1)∪{3}

  1. Dominio: excluye −1.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 3.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  4. En (−1, 3), prueba x=1: el signo es positivo.
  5. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−∞,−1)∪{3}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 6

Resuelve (x−4)2(x+1)≤0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞,−1)∪{4}

  1. Dominio: excluye −1.
  2. Puntos críticos ordenados: −1, 4.
  3. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es negativo.
  4. En (−1, 4), prueba x=32: el signo es positivo.
  5. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−∞,−1)∪{4}.

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 3 · Conectar operaciones

Ejercicio 7

Resuelve (x−2)(x+1)(x−2)(x−1)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)

  1. Puedes cancelar x−2 solo para x≠2. El punto sigue prohibido aunque desaparezca de la expresión simplificada.
  2. Dominio: excluye 1, 2.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1, 2.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es positivo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (1, 2), prueba x=32: el signo es positivo.
  7. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 8

Resuelve (x−3)(x+1)(x−3)(x−1)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞)

  1. Puedes cancelar x−3 solo para x≠3. El punto sigue prohibido aunque desaparezca de la expresión simplificada.
  2. Dominio: excluye 1, 3.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1, 3.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es positivo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (1, 3), prueba x=2: el signo es positivo.
  7. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 9

Resuelve (x−4)(x+1)(x−4)(x−1)≥0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, −1] ∪ (1, 4) ∪ (4, +∞)

  1. Puedes cancelar x−4 solo para x≠4. El punto sigue prohibido aunque desaparezca de la expresión simplificada.
  2. Dominio: excluye 1, 4.
  3. Puntos críticos ordenados: −1, 1, 4.
  4. En (−∞, −1), prueba x=−2: el signo es positivo.
  5. En (−1, 1), prueba x=0: el signo es negativo.
  6. En (1, 4), prueba x=52: el signo es positivo.
  7. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  8. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  9. Conjunto solución: (−∞, −1] ∪ (1, 4) ∪ (4, +∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 4 · Resolver una situación

Ejercicio 10

Resuelve (x+2)(x−2)2>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−2,2)∪(2,+∞)

  1. Dominio: excluye 2.
  2. Puntos críticos ordenados: −2, 2.
  3. En (−∞, −2), prueba x=−3: el signo es negativo.
  4. En (−2, 2), prueba x=0: el signo es positivo.
  5. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−2,2)∪(2,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 11

Resuelve (x+3)(x−3)2>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−3,3)∪(3,+∞)

  1. Dominio: excluye 3.
  2. Puntos críticos ordenados: −3, 3.
  3. En (−∞, −3), prueba x=−4: el signo es negativo.
  4. En (−3, 3), prueba x=0: el signo es positivo.
  5. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−3,3)∪(3,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 12

Resuelve (x+4)(x−4)2>0.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−4,4)∪(4,+∞)

  1. Dominio: excluye 4.
  2. Puntos críticos ordenados: −4, 4.
  3. En (−∞, −4), prueba x=−5: el signo es negativo.
  4. En (−4, 4), prueba x=0: el signo es positivo.
  5. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución:(−4,4)∪(4,+∞).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto

Ejercicio 13

Resuelve x+2x−2≤1.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 2)

  1. Resta 1 antes de hacer la tabla:x+2x−2−1=4x−2. No multipliques por x−2 sin conocer su signo.
  2. Dominio: excluye 2.
  3. Puntos críticos ordenados: 2.
  4. En (−∞, 2), prueba x=1: el signo es negativo.
  5. En (2, +∞), prueba x=3: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, 2).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 14

Resuelve x+3x−3≤1.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 3)

  1. Resta 1 antes de hacer la tabla:x+3x−3−1=6x−3. No multipliques por x−3 sin conocer su signo.
  2. Dominio: excluye 3.
  3. Puntos críticos ordenados: 3.
  4. En (−∞, 3), prueba x=2: el signo es negativo.
  5. En (3, +∞), prueba x=4: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, 3).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Ejercicio 15

Resuelve x+4x−4≤1.

Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.

Una pista

Ordena raíces y puntos prohibidos; examina un valor en cada intervalo y después los extremos.

Solución y procedimiento

Respuesta modelo: (−∞, 4)

  1. Resta 1 antes de hacer la tabla:x+4x−4−1=8x−4. No multipliques por x−4 sin conocer su signo.
  2. Dominio: excluye 4.
  3. Puntos críticos ordenados: 4.
  4. En (−∞, 4), prueba x=3: el signo es negativo.
  5. En (4, +∞), prueba x=5: el signo es positivo.
  6. Incluye los ceros del numerador admisibles solo si la comparación permite igualdad. Los ceros del denominador original nunca se incluyen.
  7. Conjunto solución: (−∞, 4).

Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.

Explica y transfiere

¿Puede desaparecer un cambio de signo tras cancelar un factor? Explica qué información se conserva sobre el punto cancelado aunque la tabla simplificada parezca continua.

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