Antes de empezar: Inecuaciones lineales, cuadráticas y dominio.
Al terminar: Combina intervalos, cantidades enteras, distancias y restricciones de modelos.
Traduce el límite con cuidado
«Como máximo» y «no supera» suelen corresponder a ≤; «al menos» a ≥; «más de» a > y «menos de» a <. Define la variable y sus unidades antes de traducir. La frontera debe incluirse solo si el enunciado permite exactamente el valor límite.
Reales y enteros producen decisiones diferentes
Si n≤4.4 y n cuenta paquetes completos, el máximo es 4. Si n≥4.4, el mínimo es 5. No se redondea al entero más cercano: se elige el entero que cumple la desigualdad en el sentido correcto. Comprueba el candidato y el entero vecino que queda excluido.
Distancia y tolerancia
|x−c|≤r, con r≥0, significa que x está a distancia no mayor que r de c: c−r≤x≤c+r. No confundas una tolerancia simétrica con una cota únicamente superior. Si la condición fuese |x−c|>r, la solución quedaría fuera del intervalo cerrado.
Ganancia no negativa y raíces
En un modelo P(n)=−(n−2)(n−6), la condición P(n)≥0 permite 2≤n≤6. Si n cuenta unidades enteras, son 2,3,4,5,6. Los extremos son puntos de equilibrio, no ganancia estrictamente positiva. Para P>0 se excluirían. El modelo debe declarar sus hipótesis y no sustituye datos económicos reales.
Justificar una multiplicación por una variable
Si x representa un ancho, x>0 forma parte del dominio. Entonces multiplicar por x conserva el sentido. Sin esa condición, el mismo paso podría ser inválido. Las restricciones físicas pueden simplificar el álgebra, pero hay que escribirlas y no asumirlas silenciosamente.
Ejemplos resueltos
Presupuesto entero
Un costo es 20+7n pesos y el presupuesto es 52 pesos.
- 20+7n≤52; n≤32/7.
- Con n entero no negativo, el máximo es 4.
- Cuatro unidades cuestan 48 y cinco cuestan 55: el límite se verifica.
Capacidad mínima
Cada paquete cubre 5 m² y hacen falta al menos 23 m².
- 5n≥23; n≥23/5.
- El mínimo entero es 5.
- Cuatro paquetes cubren 20 m²; cinco cubren 25 m².
Error frecuente: Redondear al entero más cercano sin revisar el sentido de la condición o confundir ganancia no negativa con positiva.
Un presupuesto y cantidades enteras
Costo total: 20+pn. Se exige n entero no negativo. El máximo se decide por la desigualdad, no por redondeo al entero más cercano.
Costo total: 20+pn. Se exige n entero no negativo. El máximo se decide por la desigualdad, no por redondeo al entero más cercano.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
Un servicio cobra 20 pesos fijos y 7 pesos por unidad. Dispones de 37 pesos. ¿Cuál es el máximo número entero de unidades?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- 20+7n≤37; n≤17/7.
- n debe ser entero no negativo: máximo 2.
- Una unidad adicional superaría el presupuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
Un servicio cobra 30 pesos fijos y 7 pesos por unidad. Dispones de 54 pesos. ¿Cuál es el máximo número entero de unidades?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- 30+7n≤54; n≤24/7.
- n debe ser entero no negativo: máximo 3.
- Una unidad adicional superaría el presupuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
Un servicio cobra 40 pesos fijos y 7 pesos por unidad. Dispones de 71 pesos. ¿Cuál es el máximo número entero de unidades?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 40+7n≤71; n≤31/7.
- n debe ser entero no negativo: máximo 4.
- Una unidad adicional superaría el presupuesto.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
Necesitas cubrir al menos 11 m². Cada paquete cubre 5 m². ¿Cuál es el mínimo número de paquetes completos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- 5n≥11; n≥11/5.
- Al exigir enteros, el mínimo es 3.
- 2 paquetes no alcanzan.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
Necesitas cubrir al menos 16 m². Cada paquete cubre 5 m². ¿Cuál es el mínimo número de paquetes completos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- 5n≥16; n≥16/5.
- Al exigir enteros, el mínimo es 4.
- 3 paquetes no alcanzan.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
Necesitas cubrir al menos 21 m². Cada paquete cubre 5 m². ¿Cuál es el mínimo número de paquetes completos?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- 5n≥21; n≥21/5.
- Al exigir enteros, el mínimo es 5.
- 4 paquetes no alcanzan.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Una medida x debe estar a no más de 2 unidades de 10: |x−10|≤2. Da el intervalo permitido.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [8, 12]
- La distancia a 10 no supera 2: −2≤x−10≤2.
- Suma 10 en los tres miembros: 8≤x≤12.
- Ambos extremos se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Una medida x debe estar a no más de 3 unidades de 10: |x−10|≤3. Da el intervalo permitido.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [7, 13]
- La distancia a 10 no supera 3: −3≤x−10≤3.
- Suma 10 en los tres miembros: 7≤x≤13.
- Ambos extremos se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Una medida x debe estar a no más de 4 unidades de 10: |x−10|≤4. Da el intervalo permitido.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [6, 14]
- La distancia a 10 no supera 4: −4≤x−10≤4.
- Suma 10 en los tres miembros: 6≤x≤14.
- Ambos extremos se incluyen.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una ganancia ideal P(n)=−n²+8n−12 debe ser no negativa. n es entero no negativo. ¿Cuántos valores distintos de n son admisibles?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- P(n)=−(n−2)(n−6).
- P≥0 entre las raíces, incluidos extremos: 2≤n≤6.
- Los enteros son 2, 3, 4, 5, 6: cinco valores.
- El modelo es idealizado y no incorpora otros costos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una ganancia ideal P(n)=−n²+10n−21 debe ser no negativa. n es entero no negativo. ¿Cuántos valores distintos de n son admisibles?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- P(n)=−(n−3)(n−7).
- P≥0 entre las raíces, incluidos extremos: 3≤n≤7.
- Los enteros son 3, 4, 5, 6, 7: cinco valores.
- El modelo es idealizado y no incorpora otros costos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una ganancia ideal P(n)=−n²+12n−32 debe ser no negativa. n es entero no negativo. ¿Cuántos valores distintos de n son admisibles?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- P(n)=−(n−4)(n−8).
- P≥0 entre las raíces, incluidos extremos: 4≤n≤8.
- Los enteros son 4, 5, 6, 7, 8: cinco valores.
- El modelo es idealizado y no incorpora otros costos.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un rectángulo tiene área 10 m² y ancho positivo x. El largo no debe superar 5 m. Da todos los anchos admisibles.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [2, +∞)
- El largo es 10/x, con x>0.
- 10/x≤5. Como x es positivo, multiplica sin cambiar el sentido.
- x≥2. No se impone otra restricción de forma: todos esos anchos sirven.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un rectángulo tiene área 18 m² y ancho positivo x. El largo no debe superar 6 m. Da todos los anchos admisibles.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [3, +∞)
- El largo es 18/x, con x>0.
- 18/x≤6. Como x es positivo, multiplica sin cambiar el sentido.
- x≥3. No se impone otra restricción de forma: todos esos anchos sirven.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un rectángulo tiene área 28 m² y ancho positivo x. El largo no debe superar 7 m. Da todos los anchos admisibles.
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Expresa las condiciones y revisa sus extremos.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: [4, +∞)
- El largo es 28/x, con x>0.
- 28/x≤7. Como x es positivo, multiplica sin cambiar el sentido.
- x≥4. No se impone otra restricción de forma: todos esos anchos sirven.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Explica y transfiere
¿Por qué las raíces de una ganancia pueden incluirse cuando se pide no perder dinero, pero excluirse al exigir ganar?
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