La animación interactiva se consulta en eatryl.com. Esta versión conserva teoría, ejemplos y ejercicios.
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Rotar y proyectar
En las escenas Canvas, x e y son horizontales y z es altura. Primero gira el plano: x′=x cos az−y sen az, y′=x sen az+y cos az. La coordenada vertical de pantalla antes de pasar a píxeles es U=y′ sen el+z cos el; la horizontal es X=x′. Finalmente px=cx+sX y py=cy−sU, porque los píxeles crecen hacia abajo. Esta proyección ortográfica descarta profundidad.
Elipses a partir de círculos
Un anillo horizontal de radio r y altura z se proyecta como una elipse de semiejes r y r sen el; el centro sube z cos el. Con el=0 se ve de lado y el anillo se aplana; con el=90° se ve desde arriba y la altura deja de desplazarlo. En 32°, el eje menor mide aproximadamente 0.530 veces el mayor. Girar az no cambia un anillo completo radial; sí cambia la orientación de líneas radiales y distribuciones de varias fuentes.
Perspectiva y puntos luminosos
La versión Three.js usa perspectiva: el tamaño aparente disminuye al aumentar la profundidad. El shader calcula la altura por punto y ajusta su tamaño con un factor proporcional a 1/(−z_cámara). Los puntos se mezclan sumando luz; esto conserva el aspecto luminoso, pero no representa una superficie opaca con ocultación física. Para una superficie sólida habría que usar prueba de profundidad u ordenar elementos correctamente.
Muestreo espacial
La fórmula es continua y se evalúa sobre una malla. En la versión de partículas hay 170×170 puntos en 17 unidades, paso 17/169≈0.1006. Con k=3, λ≈2.094 y hay unas 20.8 muestras por longitud de onda. El mapa usa 220×220 muestras en 16 unidades: paso 16/219≈0.0731; con k=4 hay unas 21.5 muestras por λ. Esto da margen para la oscilación, aunque las fuentes, el recorte y las proyecciones requieren su propia atención.
Muestreo temporal y Nyquist
Una señal sinusoidal ideal necesita una frecuencia de muestreo estrictamente mayor que el doble de su frecuencia para evitar la ambigüedad del límite; en gráficos convienen muchas más muestras. Con ω=4.2 y 60 cuadros/s, la fase avanza 0.07 rad/cuadro. Saltos grandes pueden hacer parecer que la onda retrocede. Si el dispositivo no sostiene la tasa, la animación puede perder fluidez; el código limita el salto temporal al regresar de una pestaña inactiva.
Color no equivale a altura exacta
El relieve utiliza altura; el mapa la transforma a una escala de colores con saturación. Valores extremos pueden compartir color. En unas escenas hay interpolación lineal, en otras smoothstep y mezcla aditiva: no es correcto afirmar que todas tienen una escala lineal de violeta a menta. Para medir, usa la fórmula y parámetros, no el brillo de un píxel.
Un bucle sin salto
Con parámetros constantes, la fase vuelve tras 2π/ω. Para cerrar un video también deben coincidir cámara, barrido de k, secuencia de fuentes y encuadre. Captura tiempos desde 0 inclusive hasta el periodo sin duplicar el cuadro final: el siguiente cuadro del ciclo ya es el inicial. Si los periodos no tienen un múltiplo común práctico, no habrá un bucle corto exacto.
Aplicación
Estas operaciones aparecen en gráficos por computadora, visualización científica y procesamiento de señales. Antes de programar un efecto, define qué magnitud representa, sus unidades, el dominio y la transformación visual. Una imagen convincente no verifica una ecuación: contrasta casos conocidos y conserva una representación textual accesible.
Vuelve a los fundamentos
Pitágoras · Frecuencia y periodo · Polígonos y simetría
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
λ=4 y paso de malla=0.5. ¿Cuántas muestras hay por λ?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- λ/Δx=4/0.5=8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
λ=6 y paso de malla=0.5. ¿Cuántas muestras hay por λ?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- λ/Δx=6/0.5=12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
λ=8 y paso de malla=0.5. ¿Cuántas muestras hay por λ?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 16
- λ/Δx=8/0.5=16.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
ω=2 rad/s y 50 cuadros/s. Halla el avance de fase por cuadro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 1/25
- Δφ=ω/fps=2/50.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
ω=3 rad/s y 50 cuadros/s. Halla el avance de fase por cuadro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3/50
- Δφ=ω/fps=3/50.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
ω=4 rad/s y 50 cuadros/s. Halla el avance de fase por cuadro.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2/25
- Δφ=ω/fps=4/50.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Un anillo tiene radio 2. Desde arriba, ¿cuánto mide su semieje menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 2
- sen 90°=1; semieje=r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Un anillo tiene radio 3. Desde arriba, ¿cuánto mide su semieje menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- sen 90°=1; semieje=r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Un anillo tiene radio 4. Desde arriba, ¿cuánto mide su semieje menor?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- sen 90°=1; semieje=r.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
La escala es 20 píxeles/unidad. X=2 y cx=100. Halla px.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 140
- px=cx+sX=100+20·2=140.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
La escala es 30 píxeles/unidad. X=2 y cx=100. Halla px.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 160
- px=cx+sX=100+30·2=160.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
La escala es 40 píxeles/unidad. X=2 y cx=100. Halla px.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 180
- px=cx+sX=100+40·2=180.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un ciclo de fase dura 2 s y el ciclo de cámara 3 s. Halla el primer periodo común en s.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- 2 y 3 son coprimos.
- Su mínimo común múltiplo es 6.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un ciclo de fase dura 3 s y el ciclo de cámara 4 s. Halla el primer periodo común en s.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 12
- 3 y 4 son coprimos.
- Su mínimo común múltiplo es 12.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un ciclo de fase dura 4 s y el ciclo de cámara 5 s. Halla el primer periodo común en s.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- 4 y 5 son coprimos.
- Su mínimo común múltiplo es 20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.