Objetivo: Relaciona combinatoria, rotaciones y ejes de los polígonos regulares.
Qué une una diagonal
Una diagonal une dos vértices no consecutivos. Desde cada vértice hay n−3: no se une consigo mismo ni con sus dos vecinos. Multiplicar por n cuenta cada diagonal desde sus dos extremos; por eso dividimos entre dos.
Regularidad y simetría
Un polígono regular de n lados tiene n ejes de simetría y n rotaciones que lo dejan igual en una vuelta, contando la identidad. El giro positivo mínimo es 360°/n. Hay n−1 giros no triviales entre 0° y 360°. En n impar cada eje une vértice y punto medio del lado opuesto; en n par la mitad une vértices opuestos y la otra mitad puntos medios opuestos.
No confundir familias
Un rectángulo no cuadrado tiene dos ejes y simetría rotacional de orden 2; un cuadrado tiene cuatro ejes y orden 4. Un paralelogramo genérico posee giro de 180°, pero no ejes de reflexión. Las medidas y la simetría del polígono cambian si deja de ser regular, aunque su número de diagonales permanece.
Resolver hacia atrás
Si conoces D puedes ensayar enteros o resolver n²−3n−2D=0. Conserva solo una raíz entera n≥3. Este problema enlaza el conteo de secundaria con ecuaciones cuadráticas de preparatoria. Los diseños de rosetas y mosaicos aprovechan estas repeticiones; el patrón de fuentes del laboratorio también usa vértices de un polígono regular.
Ejemplos resueltos
Un octágono
Cuenta sus diagonales.
- Desde cada vértice salen 8−3=5.
- 8·5=40 cuenta dos veces cada una.
- D=20; no todas pasan por el centro.
Una vuelta de 24°
¿Qué polígono regular tiene giro mínimo de 24°?
- n=360/24=15.
- Tiene 15 ejes y 15 rotaciones contando la identidad.
- D=15·12/2=90.
Error frecuente: Contar 360° como una rotación adicional a 0°: representan la misma posición.
Predice, cambia y comprueba
Elige una vista. Antes de mover el control, predice cuántos triángulos, diagonales o ejes aparecerán.
La vista de Varignon usa un cuadrilátero fijo. Las demás usan un polígono regular; no prueban propiedades de todos los polígonos por su apariencia.
Aplicación: fuentes distribuidas como un polígono regular →
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
¿Cuántas diagonales salen de un vértice de un polígono de 6 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 3
- n−3=6−3=3.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
¿Cuántas diagonales salen de un vértice de un polígono de 7 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- n−3=7−3=4.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
¿Cuántas diagonales salen de un vértice de un polígono de 8 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- n−3=8−3=5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 7 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 14
- D=(7)(4)/2=14.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 8 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- D=(8)(5)/2=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 9 lados?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 27
- D=(9)(6)/2=27.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Halla el giro mínimo de un polígono regular de 8 lados, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45
- 360/8=45°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Halla el giro mínimo de un polígono regular de 12 lados, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 30
- 360/12=30°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Halla el giro mínimo de un polígono regular de 16 lados, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 45/2
- 360/16=45/2°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Una roseta regular tiene 6 sectores idénticos y ese es su orden exacto de rotación. ¿Cuántos giros no triviales la conservan en una vuelta?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 5
- Hay 6 posiciones incluyendo la identidad.
- Exclúyela: 5.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Una roseta regular tiene 9 sectores idénticos y ese es su orden exacto de rotación. ¿Cuántos giros no triviales la conservan en una vuelta?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- Hay 9 posiciones incluyendo la identidad.
- Exclúyela: 8.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Una roseta regular tiene 12 sectores idénticos y ese es su orden exacto de rotación. ¿Cuántos giros no triviales la conservan en una vuelta?
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 11
- Hay 12 posiciones incluyendo la identidad.
- Exclúyela: 11.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Un polígono tiene 20 diagonales. Encuentra n.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- n(n−3)=40.
- n=8 satisface la ecuación; la otra raíz es negativa.
- Verifica D=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Un polígono tiene 27 diagonales. Encuentra n.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 9
- n(n−3)=54.
- n=9 satisface la ecuación; la otra raíz es negativa.
- Verifica D=27.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Un polígono tiene 35 diagonales. Encuentra n.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 10
- n(n−3)=70.
- n=10 satisface la ecuación; la otra raíz es negativa.
- Verifica D=35.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.