Objetivo: Justifica propiedades mediante puntos medios y ángulos inscritos.
Extensión del bloque 4.3
Este recurso amplía el núcleo de secundaria y conecta con preparatoria. Requiere el teorema del segmento medio en un triángulo y la relación entre ángulo inscrito y arco. Si aún no los conoces, estudia primero los argumentos que siguen.
Puntos medios que forman un paralelogramo
Sean E, F, G, H los puntos medios consecutivos de AB, BC, CD y DA de un cuadrilátero simple no degenerado. En el triángulo ABC, EF es paralelo a AC y mide AC/2; se deduce por semejanza con razón 1/2. En CDA, GH también es paralelo a AC y mide AC/2. De forma análoga FG y HE son paralelos a BD y miden BD/2. Por tanto EFGH es un paralelogramo: teorema de Varignon.
Las diagonales originales deciden la nueva forma
Los lados de EFGH son paralelos a las diagonales del cuadrilátero original. Si AC y BD son perpendiculares, EFGH es rectángulo; si tienen igual longitud, EFGH es rombo; si cumplen ambas propiedades, es cuadrado. Su perímetro es AC+BD.
Cuatro vértices sobre una circunferencia
Un cuadrilátero convexo es cíclico si sus vértices están en una circunferencia. Cada ángulo inscrito mide la mitad del arco opuesto que intercepta; esta propiedad se obtiene uniendo el centro a los extremos del arco y usando triángulos isósceles. Los arcos interceptados por ángulos opuestos completan 360°, por lo que esos ángulos suman 180°. El recíproco también vale para cuadriláteros convexos.
Condiciones y ejemplos
Todo rectángulo es cíclico: sus diagonales iguales se bisecan y el punto de cruce equidista de los cuatro vértices. Un rombo no cuadrado no es cíclico: sus ángulos opuestos son iguales; para que sumen 180° tendrían que ser rectos. Estas condiciones no se pueden trasladar sin cuidado a cuadriláteros cruzados.
Ejemplos resueltos
Puntos medios
Las diagonales originales miden 10 y 14 cm y son perpendiculares.
- Varignon tiene lados de 5 y 7 cm.
- Es rectángulo porque los lados adyacentes son paralelos a diagonales perpendiculares.
- Perímetro=24 cm; no es cuadrado.
Ángulos opuestos
Un cuadrilátero cíclico tiene A=72°. Halla C.
- A y C son opuestos.
- C=180−72=108°.
- La propiedad no dice que los ángulos adyacentes sumen 180°.
Error frecuente: Confundir las diagonales originales con las diagonales del paralelogramo de puntos medios.
Predice, cambia y comprueba
Elige una vista. Antes de mover el control, predice cuántos triángulos, diagonales o ejes aparecerán.
La vista de Varignon usa un cuadrilátero fijo. Las demás usan un polígono regular; no prueban propiedades de todos los polígonos por su apariencia.
Ponlo a prueba: práctica progresiva
15 ejercicios en cinco niveles. Resuelve uno, explica tu procedimiento y avanza cuando puedas hacerlo sin consultar la solución.
La duración indicada en la cabecera corresponde a la explicación; puedes repartir esta práctica entre varias sesiones.
Nivel 1 · Reconocer
Ejercicio 1
En un cuadrilátero cíclico A=70°. Halla su opuesto C, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 110
- C=180−70=110°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 2
En un cuadrilátero cíclico A=75°. Halla su opuesto C, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 105
- C=180−75=105°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 3
En un cuadrilátero cíclico A=80°. Halla su opuesto C, en grados.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 100
- C=180−80=100°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 2 · Aplicar el procedimiento
Ejercicio 4
AC=8 cm. E y F son puntos medios de AB y BC. Halla EF en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 4
- EF=AC/2=4 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 5
AC=12 cm. E y F son puntos medios de AB y BC. Halla EF en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 6
- EF=AC/2=6 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 6
AC=16 cm. E y F son puntos medios de AB y BC. Halla EF en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 8
- EF=AC/2=8 cm.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 3 · Conectar operaciones
Ejercicio 7
Las diagonales de un cuadrilátero miden 8 y 12 cm. Halla el perímetro de Varignon en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 20
- Lados: 4 y 6.
- P=2(4+6)=20.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 8
Las diagonales de un cuadrilátero miden 12 y 18 cm. Halla el perímetro de Varignon en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 30
- Lados: 6 y 9.
- P=2(6+9)=30.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 9
Las diagonales de un cuadrilátero miden 16 y 24 cm. Halla el perímetro de Varignon en cm.
Escribe un entero, decimal o fracción, sin unidades. Usa la unidad solicitada en el enunciado. Para resultados periódicos, usa una fracción exacta.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: 40
- Lados: 8 y 12.
- P=2(8+12)=40.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 4 · Resolver una situación
Ejercicio 10
Un rombo tiene un ángulo de 62°. ¿Es cíclico?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El opuesto también mide 62°.
- Suman 124°, no 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 11
Un rombo tiene un ángulo de 63°. ¿Es cíclico?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El opuesto también mide 63°.
- Suman 126°, no 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 12
Un rombo tiene un ángulo de 64°. ¿Es cíclico?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: No
- El opuesto también mide 64°.
- Suman 128°, no 180°.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Nivel 5 · Argumentar y afrontar un reto
Ejercicio 13
Diagonales originales iguales de 8 cm y perpendiculares. ¿Qué forma y lado tiene Varignon?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Cuadrado de lado 4 cm
- Los lados son mitades de diagonales: iguales.
- Su perpendicularidad da ángulos rectos.
- Es simultáneamente rombo y rectángulo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 14
Diagonales originales iguales de 12 cm y perpendiculares. ¿Qué forma y lado tiene Varignon?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Cuadrado de lado 6 cm
- Los lados son mitades de diagonales: iguales.
- Su perpendicularidad da ángulos rectos.
- Es simultáneamente rombo y rectángulo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.
Ejercicio 15
Diagonales originales iguales de 16 cm y perpendiculares. ¿Qué forma y lado tiene Varignon?
Escribe tu procedimiento. Después compara con la solución modelo: puede haber otras respuestas equivalentes. Esta respuesta no se califica automáticamente.
Una pista
Escribe los datos y la relación antes de operar.
Solución y procedimiento
Respuesta modelo: Cuadrado de lado 8 cm
- Los lados son mitades de diagonales: iguales.
- Su perpendicularidad da ángulos rectos.
- Es simultáneamente rombo y rectángulo.
Comprueba el resultado, las condiciones y las unidades. Si consultaste ayuda, vuelve a intentarlo después sin verla.